渦度・流れ関数法

テンプレート:出典の明記 渦度・流れ関数法とは、2次元非圧縮性ナビエ・ストークス方程式（NS方程式）の未知変数を減らして解析を簡単にするための手法のひとつ。NS方程式には未知変数がx 方向速度、y 方向速度、圧力の3つあるが、これを渦度ζと流れ関数ψの2つにする方法である。

導出

次の2式から始める：

2次元非圧縮性NS方程式

$\frac{\partial 𝒖}{\partial t}+(𝒖\cdot \mathrm{\nabla })𝒖=-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p+\nu {\mathrm{\nabla }}^2𝒖$

連続の式

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝒖=0$

以上の2式には、未知変数が速度u のx 方向成分、y 方向成分、および圧力の3つある。NS方程式の回転をとり、連続の式と連立させることによって、次の渦度輸送方程式を導くことができる:

$\frac{\partial \zeta }{\partial t}+(𝒖\cdot \mathrm{\nabla })\zeta =\nu {\mathrm{\nabla }}^2\zeta$

ここで、ζは渦度である：

$\zeta =\mathrm{rot}𝒖$

さらに流れ関数ψを、次式を満たす関数と定義する：

$𝒖=(\frac{\partial \psi }{\partial y},-\frac{\partial \psi }{\partial x})$

すると次の式に書き換えることができる：

${\mathrm{\nabla }}^2\psi =-\zeta$

$\frac{\partial \zeta }{\partial t}+\frac{\partial \psi }{\partial y}\frac{\partial \zeta }{\partial x}-\frac{\partial \psi }{\partial x}\frac{\partial \zeta }{\partial y}=\nu {\mathrm{\nabla }}^2\zeta$：渦度輸送方程式

上式は未知変数が渦度ζと流れ関数ψの2つだけであり、元のNS方程式に比べ、解析が簡単になる。

参考文献

• テンプレート:Cite