準周期函数のソースを表示

[[数学]]における'''準周期函数'''（じゅんしゅうきかんすう、{{Lang-en-short|quasiperiodic function}}）は、[[周期函数]]と似ているが、厳密な定義は異なる[[函数]]である。より正確に言うと、函数 <math>f</math> が準周期 <math>\omega</math> に対して準周期的であるとは、<math>f</math> よりも「単純」なある函数 <math>g</math> に対して <math>f(z + \omega) = g(z,f(z))</math>が成立することを言う。ここで「単純」が意味する所は曖昧であることに注意されたい。

簡単な例として、函数が次の方程式を満たす場合が挙げられる（しばしば算術的準周期函数と呼ばれる）：

:<math> f(z + \omega) = f(z) + C. </math>

別の例として、函数が次の方程式を満たす場合が挙げられる（しばしば幾何的準周期函数と呼ばれる）：

:<math> f(z + \omega) = C f(z) </math>

有用な例として、次の函数が挙げられる：

:<math> f(z) = \sin(Az) + \sin(Bz). </math>

この函数は比 ''A''/''B'' が有理数であるなら真の周期を持つが、''A''/''B'' が無理数であるなら真の周期は持たない。しかしより正確になっていく「おおよその」周期の連続体は持つ。

このような一例として、[[テータ函数|ヤコビのテータ函数]]が挙げられる。その場合、

:<math>\vartheta(z+\tau;\tau) = e^{-2\pi iz - \pi i\tau}\vartheta(z;\tau)</math>

は、固定された &tau; に対して準周期 &tau; を持つことを意味する。また、この函数は周期 1 の周期函数でもある。その他の例として、二つの独立な準周期に対して準周期的な{{仮リンク|ワイエルシュトラスのシグマ函数|en|Weierstrass functions}}が挙げられる。その周期は対応する[[ヴァイエルシュトラスの楕円函数|ワイエルシュトラスの楕円函数]]のものである。

加法的な函数方程式

:<math> f(z + \omega) = f(z)+az+b \ </math>

を伴う函数もまた準周期的である。このような一例として、{{仮リンク|ワイエルシュトラスのゼータ函数|en|Weierstrass functions}}が挙げられる。その場合

:<math> \zeta(z + \omega) = \zeta(z) + \eta \ </math>

が固定された定数 &eta; に対して成立する。ただし &omega; は対応するワイエルシュトラス &weierp; 函数の周期である。

<math> f(z + \omega)=f(z) \ </math> が成立するような特別な場合、''f'' は周期 &omega; の周期函数であると言われる。

== 準周期信号 ==

音響処理の意味での「準周期的信号」は、準周期函数ではない。むしろそれらは[[概周期函数]]に由来しているので、その点に関して文献を考慮されたい。より曖昧で、一般的な{{仮リンク|準周期性|en|quasiperiodicity}}の概念は、数学的な意味での準周期函数とすらあまり関連がない。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|準周期性|en|Quasiperiodicity}}
* {{仮リンク|準周期運動|en|Quasiperiodic motion}}
* [[概周期函数]]

== 外部リンク ==
*[http://planetmath.org/encyclopedia/QuasiperiodicFunction.html Quasiperiodic function] at [[PlanetMath]]

{{DEFAULTSORT:しゆんしゆうきかんすう}}
[[Category:複素解析]]
[[Category:数学に関する記事]]