準線形効用関数のソースを表示

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'''準線形効用関数'''（じゅんせんけいこうようかんすう、[[英語|英]]: The quasi-linear utility）とは、1つの財について線形でその他の財について厳密に上に凸である効用関数のこと<ref name="Varian">{{Cite Varian Microeconomic Analysis 3}}</ref>。

==概要==
一般的な準線形効用関数は以下のように書ける<ref name="Varian" />{{rp|164}}。
:<math>u(x_1, x_2, \ldots, x_n) = x_1 +  \theta (x_2, \ldots, x_n)</math>
ただし<math>\theta</math>は厳密に上に凸な関数である<ref name="note">Miller, Nolan (2006) [https://web.archive.org/web/20111215230240/http://www.hks.harvard.edu/nhm/notes2006/notes4.pdf Topics in Consumer Theory] Harvard University, 2022年1月7日閲覧。</ref>。<math>x_1</math>は通常は{{仮リンク|ニュメレール|en|numeraire}}となる。このとき、効用最大化問題を解いて得られる需要関数<math>x_2, \ldots, x_n</math>は所得に依存しない（つまり所得効果がない）<ref name="hayashi">{{Cite journal|和書|author=林貴志 |date=2014-07 |url=https://doi.org/10.14988/pa.2017.0000013678 |title=消費者余剰概念と一般均衡 |journal=同志社商学 |ISSN=0387-2858 |publisher=同志社大学商学会 |volume=66 |issue=1 |pages=107-124 |doi=10.14988/pa.2017.0000013678 |CRID=1390009224914193792}}</ref>。

効用関数が準線形なとき、{{仮リンク|補償変分|en|Compensating variation}}（CV）と{{仮リンク|等価変分|en|Equivalent variation}}（EV）と[[消費者余剰]]が等しくなる<ref name="hayashi"/><ref>{{Cite journal |author=Willig Robert D. |year=1976 |url=http://www.jstor.org/stable/1806699 |title=Consumer's Surplus Without Apology |journal=The American Economic Review |volume=66 |issue=4 |pages=589-597 |publisher=American Economic Association |ISSN=00028282}}</ref>。[[メカニズムデザイン]]では、準線形効用関数を仮定することで経済主体がサイド・ペイメントで互いに補償し合える状況を考えることができる。

==2財の例==
===一般形===
以下のような効用関数を考える。
:<math> u ( x,y ) = x + \theta(y)</math>
これは、<math>\theta</math>が厳密に上に凸な関数であるとき準線形効用関数となる。予算制約式<math>I=p_{x}x+p_{y}y</math>の下で効用最大化問題を解くと、財''y''への需要関数は
:<math>\theta^\prime (y) = p_y</math>
の解として定義できる。ただし<math>p_y</math>は財''y''の価格である。これを''y''について解くと
:<math>y(p,I) = (\theta^\prime)^{-1}(p_y),</math>
が得られ、所得水準''I''に依存しないことがわかる。[[間接効用関数]]は
:<math>v(p,I) = v(p) + I,</math>
のように書ける。これは{{仮リンク|ゴーマン極形型|en|Gorman polar form}}と解釈できる<ref name="Varian">{{Cite Varian Microeconomic Analysis 3}}</ref>{{rp|154, 169}}。

===具体例===
以下のような準線形効用関数を考える<ref name="note"/>。
:<math> u \left ( x,y \right ) = x + \sqrt{y}</math>
予算制約式<math>I=p_{x}x+p_{y}y</math>の下で効用最大化問題を解くと、財''x''と財''y''の需要関数はそれぞれ
:<math> x=\frac{I}{p_{x}}-\frac{1}{4}\frac{p_{x}}{p_{y}}</math>
:<math> y=\frac{1}{4} \left( \frac{p_{x}}{p_{y}} \right)^{2}</math>
となる。財''y''への需要が所得水準''I''に依存していないことがわかる。これらを効用関数に代入すると、以下のような間接効用関数が得られる。
:<math> v=\frac{I}{p_{x}}+\frac{1}{4}\frac{p_{x}}{p_{y}}</math>

==二次の副効用関数==
ニュメレール財<math>x_{0}</math>以外の財が連続体（英: continuum）上に複数のバラエティ<math>\omega</math>を持ち、バラエティ<math>\omega</math>の消費から得られる効用が二次の副効用関数として書ける準線形効用関数もある<ref>{{Cite journal |author=Gianmarco Ottaviano; Takatoshi Tabuchi; Jacques-Francois Thisse |year=2002 |url=https://www.jstor.org/stable/826994 |title=Agglomeration and Trade Revisited |journal=International Economic Review |volume=43 |issue=2 |pages=409-435 |publisher=Economics Department of the University of Pennsylvania, Wiley, Institute of Social and Economic Research, Osaka University |ISSN=00206598}}</ref>。
:<math> u = x_{0} + \alpha \int_{\omega \in \Omega}x(\omega)d\omega + \frac{\beta - \gamma}{2} \int_{\omega \in \Omega}x(\omega)^{2}d\omega - \frac{\gamma}{2} \left( \int_{\omega \in \Omega}x(\omega)d\omega \right)^2 </math>
ただし、<math>\Omega</math>はバラエティの集合で、<math>\alpha>0</math>と<math>\beta > \gamma</math>はパラメーターである。予算制約式<math>I = p_{0}x_{0} + \int_{\omega \in \Omega} p(\omega)x(\omega)d\omega</math>の下で効用最大化問題を解くと、個々のバラエティ<math>\omega</math>の需要関数は所得水準''I''に依存しない関数となる。

==出典==
{{Reflist}}

{{ミクロ経済学}}
{{国際貿易論}}

{{デフォルトソート:しゆんせんけいこうようかんすう}}
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[[Category:ミクロ経済学]]
[[Category:マクロ経済学]]
[[Category:関数]]