演算子 (物理学)のソースを表示

{{出典の明記|date=2023年9月}}
{{Expand English|Operator (physics)|date=2024年5月}}
物理学における'''演算子'''（えんざんし、operator）とは
ある物理状態の空間から別の物理状態の空間への[[関数 (数学)|関数]]のこと。
演算子が用いられている最も簡単な例として[[対称性 (物理学)|対称性]]があり、群の考え方を有益にしている。
このことから、演算子は[[古典力学]]において非常に有用なツールとなる。
[[量子力学]]では演算子はさらに重要で、理論の定式化において本質的な部分をなす。
数学では「[[作用素 (関数解析学)|作用素]]」という語が使われているものと同じものであるが、以下では物理の観点から述べる（英語では同じ語で operator である）。

==古典力学==
古典力学では粒子（または粒子系）の運動は[[ラグランジアン]]<math>L(q, \dot{q}, t)</math> やそれと等価である[[ハミルトニアン]] <math>H(q, p, t)</math>によって完全に決定される。これらは[[一般化座標]]''q''、一般化速度<math>\dot{q} = \mathrm{d} q / \mathrm{d} t</math>、[[共役運動量]]
:<math>p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}</math>
についての関数である。

''L''や''H''が一般化座標''q''と無関係であるときは、''q''が変化しても''L''や''H''は変化しない。よって''q''が変化しても粒子のダイナミクスは変わらないままであり、これらの座標に共役な運動量は保存する。（これは[[ネーターの定理]]の一例で、座標''q''についての運動の不変性は[[対称性 (物理学)|対称性]]となる。）古典力学における演算子は、これらの対称性と関連している。

より専門的には、''H''が変換''G''の[[群 (数学)|群]]の作用下で不変であるとき、
:<math>S\in G, H(S(q,p))=H(q,p)</math>.
''G''の元は物理的な演算子で、物理状態と対応する。

===古典力学での演算子一覧===
:{| class="wikitable"
|-
! 変換
! 演算子
! 位置
! 運動量
|-
| [[並進対称性]] 
| <math>X(\mathbf{a})</math>
| <math>\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r} + \mathbf{a}</math>
| <math>\mathbf{p}\rightarrow \mathbf{p}</math>
|-
| [[時間発展|時間並進]]
| <math>U(t_0)</math>
| <math>\mathbf{r}(t)\rightarrow \mathbf{r}(t+t_0)</math>
| <math>\mathbf{p}(t)\rightarrow \mathbf{p}(t+t_0)</math>
|-
| [[回転不変性]] 
| <math>R(\mathbf{\hat{n}},\theta)</math>
| <math>\mathbf{r}\rightarrow R(\mathbf{\hat{n}},\theta)\mathbf{r}</math>
| <math>\mathbf{p}\rightarrow R(\mathbf{\hat{n}},\theta)\mathbf{p}</math>
|- 
| [[ガリレイ変換]]
| <math>G(\mathbf{v})</math>
| <math>\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r} + \mathbf{v}t</math>
| <math>\mathbf{p}\rightarrow \mathbf{p} + m\mathbf{v}</math>
|-
| [[パリティ (物理学)|パリティ]]
| <math>P</math>
| <math>\mathbf{r}\rightarrow -\mathbf{r}</math>
| <math>\mathbf{p}\rightarrow -\mathbf{p}</math>
|-
| [[T対称性]]
| <math>T</math>
| <math>\mathbf{r}\rightarrow \mathbf{r}(-t)</math>
| <math>\mathbf{p}\rightarrow -\mathbf{p}(-t)</math>
|-
|}

ここで <math>R(\hat{\boldsymbol{n}}, \theta)</math>は、[[単位ベクトル]]<math>\hat{\boldsymbol{n}}</math>と角度''θ''で定義される[[回転行列]]。

== 量子力学 ==
{{節スタブ}}
位置表示した[[波動関数]]<math>\psi(x)</math>に対して、位置演算子<math>\hat{x}=x</math>、[[運動量演算子]]<math>\hat{p}=-i \hbar \partial/\partial x</math>である（<math>i</math>は[[虚数単位]]、<math>\hbar</math>は[[ディラック定数]]）。
運動量表示した波動関数<math>\psi(p)</math>に対して、運動量演算子<math>\hat{p}=p</math>、位置演算子<math>\hat{x}=i \hbar \partial/\partial p</math>である。
量子力学における演算子は必ずしも[[交換関係 (量子力学)|交換]]しない。たとえば上記の位置演算子と運動量演算子は非可換である：<math>[\hat{x}, \hat{p}] \equiv \hat{x} \hat{p} - \hat{p} \hat{x} = i \hbar</math>（[[不確定性原理]]も参照）。

== 出典 ==
{{reflist}}

==関連項目==
{{colbegin|2}}
*[[有界線形作用素]]
*[[表現論]]
{{colend}}

{{物理学の演算子}}
{{DEFAULTSORT:えんさんし}}
[[Category:作用素論]]