演算子 (物理学)

テンプレート:出典の明記 テンプレート:Expand English 物理学における演算子（えんざんし、operator）とは ある物理状態の空間から別の物理状態の空間への関数のこと。 演算子が用いられている最も簡単な例として対称性があり、群の考え方を有益にしている。 このことから、演算子は古典力学において非常に有用なツールとなる。 量子力学では演算子はさらに重要で、理論の定式化において本質的な部分をなす。 数学では「作用素」という語が使われているものと同じものであるが、以下では物理の観点から述べる（英語では同じ語で operator である）。

古典力学

古典力学では粒子（または粒子系）の運動はラグランジアン$L(q,\dot{q},t)$ やそれと等価であるハミルトニアン $H(q,p,t)$によって完全に決定される。これらは一般化座標q、一般化速度$\dot{q}=\mathrm{d}q/\mathrm{d}t$、共役運動量

$p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$

についての関数である。

LやHが一般化座標qと無関係であるときは、qが変化してもLやHは変化しない。よってqが変化しても粒子のダイナミクスは変わらないままであり、これらの座標に共役な運動量は保存する。（これはネーターの定理の一例で、座標qについての運動の不変性は対称性となる。）古典力学における演算子は、これらの対称性と関連している。

より専門的には、Hが変換Gの群の作用下で不変であるとき、

$S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)$.

Gの元は物理的な演算子で、物理状態と対応する。

古典力学での演算子一覧

変換	演算子	位置	運動量
並進対称性	$X(𝐚)$	$𝐫\to 𝐫+𝐚$	$𝐩\to 𝐩$
時間並進	$U(t_0)$	$𝐫(t)\to 𝐫(t+t_0)$	$𝐩(t)\to 𝐩(t+t_0)$
回転不変性	$R(\widehat{𝐧},\theta )$	$𝐫\to R(\widehat{𝐧},\theta )𝐫$	$𝐩\to R(\widehat{𝐧},\theta )𝐩$
ガリレイ変換	$G(𝐯)$	$𝐫\to 𝐫+𝐯t$	$𝐩\to 𝐩+m𝐯$
パリティ	$P$	$𝐫\to -𝐫$	$𝐩\to -𝐩$
T対称性	$T$	$𝐫\to 𝐫(-t)$	$𝐩\to -𝐩(-t)$

ここで $R(\widehat{𝒏},\theta )$は、単位ベクトル$\widehat{𝒏}$と角度θで定義される回転行列。

量子力学

テンプレート:節スタブ 位置表示した波動関数$\psi (x)$に対して、位置演算子$\hat{x}=x$、運動量演算子$\hat{p}=-i\hslash \partial /\partial x$である（$i$は虚数単位、$\hslash$はディラック定数）。 運動量表示した波動関数$\psi (p)$に対して、運動量演算子$\hat{p}=p$、位置演算子$\hat{x}=i\hslash \partial /\partial p$である。 量子力学における演算子は必ずしも交換しない。たとえば上記の位置演算子と運動量演算子は非可換である：$[\hat{x},\hat{p}]\equiv \hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}=i\hslash$（不確定性原理も参照）。

関連項目

• 有界線形作用素
• 表現論