漸化式による積分のソースを表示

{{Calculus |Integral}}
'''漸化式による積分'''（ぜんかしきによるせきぶん、''Integration by reduction formulae''）は、[[漸化式]]による積分の計算方法である。この方法は、[[整数]]の[[媒介変数|パラメータ]]（通常は初等関数のべき乗）又は[[超越関数]]と任意の[[多項式の次数|次数]]の[[多項式]]の積を[[数式]]が含み、直接積分できない場合に使われる。

== 漸化式の見つけ方 ==
漸化式は、[[置換積分]]、[[部分積分]]、{{仮リンク|三角置換|en|Trigonometric substitution}}による積分、[[部分分数分解]]による積分などの一般的な積分方法のいずれかを使用して導出できる。主なアイデアは、関数（''I<sub>n</sub>''で表される）の整数パラメータ（例えばべき乗）を、例えば''I''<sub>''n''-1</sub>や''I''<sub>''n''-2</sub>で表されるより低い値のパラメータ（例えばより低いべき乗）を含む積分で表すことである。これにより、[[漸化式]]が導出される。漸化式において、積分
:<math>I_n =\int f(x,n) \,\text{d}x, </math> 
は以下の式 
:<math>I_k =  \int f(x,k) \,\text{d}x, </math> 
で表される。
ここで
:<math>k < n.</math>
である。

== 積分の計算方法 ==
積分を計算するには、漸化式を使用して''n''の積分を(''n'' – 1) や (''n'' – 2) の積分で表す。より低い指数の積分は、より高い指数の積分を計算するために使用できる。これを積分される関数が計算できる（通常は指数が０又は１）ところまで繰り返し、逆代入することで''I<sub>n</sub>''を計算する<ref>Further Elementary Analysis, R.I. Porter, G. Bell & Sons Ltd, 1978, {{ISBN|0-7135-1594-5}}</ref>。

===例=== 

計算手順の例を示す。

==== 余弦積分 ====
以下の積分は、漸化式により計算できる。

:<math>\int \cos^n x \,\text{d}x , \,\!</math>

[[Image:Cos to the n.png|thumb|''n'' = 1, 2 ... 30のときの<math>\int \cos^n (x) \,\text{d}x\!</math>]]

初めに、''I<sub>n</sub>''を以下のように定義する。

:<math>I_n = \int \cos^n x\,\text{d}x . \,\!</math>

I<sub>n</sub>は以下のように書き換えられる。

:<math>I_n = \int \cos^ {n-1} x \cos x \,\text{d}x , \,\!</math>

以下のように設定し、置換積分を行う。

:<math>\cos x \,\text{d}x = \text{d} ( \sin x) , \,\!</math>

:<math>I_n = \int \cos^{n-1} x \,\text{d}(\sin x) . \!</math>

計算結果は以下のようになる。

:<math> \begin{align} \int \cos^n x \,\text{d}x & = \cos^{n-1} x \sin x - \int \sin x \,\text{d}(\cos^{n-1} x) \\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \sin x \cos^{n-2} x\sin x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \sin^2 x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x (1-\cos^2 x )\,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x - (n-1)\int \cos^n x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n ,
\end{align} \,</math>

これにより''I<sub>n</sub>''は以下の漸化式で表される。

:<math>I_n \ + (n-1) I_n\ = \cos^{n-1} x \sin x\ + \ (n-1) I_{n-2} , \,</math>

:<math>n I_n\ = \cos^{n-1} (x) \sin x\ + (n-1) I_{n-2} , \,</math>

:<math>I_n \ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x\ + \frac{n-1}{n} I_{n-2} , \,</math>

これにより漸化式は

:<math>\int \cos^n x \,\text{d}x\ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x . \!</math>

となる。''n'' = 5の場合は以下のように計算できる。

:<math> I_5 = \int \cos^5 x \,\text{d}x . \,\!</math>

低い次数の''I<sub>n</sub>''を計算する。

:<math>n=5, \quad I_5 = \tfrac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \tfrac{4}{5} I_3 , \,</math>

:<math>n=3, \quad I_3 = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \tfrac{2}{3} I_1, \,</math>

逆代入すると、

:<math>\because I_1\ = \int \cos x \,\text{d}x = \sin x + C_1,\,</math>

:<math>\therefore I_3\ = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \tfrac{2}{3}\sin x + C_2, \quad C_2\ = \tfrac{2}{3} C_1,\,</math>

となり、最終的に''I<sub>5</sub>''は以下のように計算される。

:<math>I_5\ = \frac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \frac{4}{5}\left[\frac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \frac{2}{3} \sin x\right] + C,\,</math>

''C''は定数である。

==== 指数積分 ====
:<math>\int x^n e^{ax} \,\text{d}x . \,\!</math>

初めに、''I<sub>n</sub>''を以下のように定義する。

:<math>I_n = \int x^n e^{ax} \,\text{d}x . \,\!</math>

以下のように設定し、置換積分を行う。

:<math> x^n \,\text{d}x = \frac{\text{d} ( x^{n+1})}{n+1} , \,\!</math>

:<math>I_n = \frac{1}{n+1} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}) , \!</math>

計算結果は以下のようになる。

:<math>\begin{align} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}) & = x^{n+1}e^{ax} - \int x^{n+1} \,\text{d}(e^{ax}) \\
& = x^{n+1}e^{ax} - a \int x^{n+1} e^{ax}\,\text{d}x ,
\end{align} \!</math>

:<math>(n+1) I_n = x^{n+1}e^{ax} - a I_{n+1} , \!</math>

指数を１つずらし、''n + 1'' → ''n'', ''n'' → ''n'' – 1とすると、

:<math>n I_{n-1} = x^ne^{ax} - a I_n , \!</math>

となる。''I<sub>n</sub>''を解くと

:<math> I_n = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right ) , \,\!</math>

となる。漸化式は

:<math> \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ). \!</math>

となる。

<math>e^{ax}</math>を置換することによっても、導出することができる。以下のように設定し、置換積分を行う。

<math> e^{ax} \,\text{d}x = \frac{\text{d} ( e^{ax})}{a} , \,\!</math>

<math>I_n = \frac{1}{a} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax}) , \!</math>

計算結果は以下のようになる。

<math>\begin{align} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax}) & = x^{n}e^{ax} - \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n}) \\
& = x^{n}e^{ax} - n \int e^{ax} x^{n-1}\,\text{d}x ,
\end{align} \!</math>

逆代入すると

<math> I_n = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right ) , \,\!</math>

となり、式は

:<math> \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ). \!</math>

となる。

部分積分によっても導出することができる。

:<math>I_n = \int x^{n} x e^{ax} \,\text{d}x, \!</math>

:<math> u = x^{n} \text{ , }\ dv = e^{ax} ,</math>

:<math> \frac{du} {dx}\ = nx^{n-1} \text{ , }\ v = \frac{e^{ax}}{a}\ </math>

:<math> I_n = \frac{x^{n}e^{ax}}{a}\ - \int nx^{n-1}\ \frac{e^{ax}}{a}\ \text{d}x\ </math>

:<math> I_n = \frac{x^{n}e^{ax}}{a}\ - \frac{n}{a}\ \int x^{n-1} e^{ax} \ \text{d}x\ </math>

ここで

:<math> I_{n-1} = \int x^{n-1} e^{ax} \ \text{d}x\ </math>

:<math>\therefore\ I_n = \frac{x^{n}e^{ax}}{a}\ - \frac{n}{a}\ I_{n-1}</math>

となるため、逆代入すると以下のようになる。

:<math> I_n = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n I_{n-1} \right ) , \,\!</math>

これは以下の式に等しい。

:<math> \int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ). \!</math>

== 漸化式の表 ==

===有理関数===
以下の積分は、これらを含む<ref>http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite integrals list</ref>。
*[[線形方程式|線形]][[平方根|根号]]の因子 <math>\sqrt{ax+b}\,\!</math>
*線形因子 <math>{px+q}\,\!</math> と線形根号 <math>\sqrt{ax+b}\,\!</math>
*[[二次関数|二次]]因子 <math>x^2+a^2\,\!</math>
*二次因子 <math>x^2-a^2\,\!</math>, for <math>x>a\,\!</math>
*二次因子 <math>a^2-x^2\,\!</math>, for <math>x<a\,\!</math>
*([[既約多項式|既約]]) 二次因子 <math>ax^2+bx+c\,\!</math>
*既約多項式因子の根号 <math>\sqrt{ax^2+bx+c}\,\!</math>

{| class="wikitable"
|-
! 積分!! 漸化式
|-
| <math>I_n = \int \frac{x^n}{\sqrt{ax+b}} \,\text{d}x\,\!</math> || <math>I_n = \frac{2x^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)} - \frac{2nb}{a(2n+1)} I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_n = \int \frac{\text{d}x}{x^n\sqrt{ax+b}}\,\!</math> || <math>I_n = -\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)bx^{n-1}}-\frac{a(2n-3)}{2b(n-1)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_n = \int x^n\sqrt{ax+b}\,\text{d}x\,\!</math> || <math>I_n = \frac{2x^n\sqrt{(ax+b)^3}}{a(2n+3)}-\frac{2nb}{a(2n+3)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_{m,n} = \int \frac{\text{d}x}{(ax+b)^m(px+q)^n}\,\!</math> || <math>I_{m,n} = 
\begin{cases}
  -\frac{1}{(n-1)(bp-aq)} \left [ \frac{1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}+a(m+n-2)I_{m,n-1} \right ]   \\
  \frac{1}{(m-1)(bp-aq)} \left [ \frac{1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}+p(m+n-2)I_{m-1,n} \right ]
\end{cases}\,\!</math>
|-
| <math>I_{m,n} = \int  \frac{(ax+b)^m}{(px+q)^n} \,\text{d}x\,\!</math> || <math>I_{m,n} =
\begin{cases}
  -\frac{1}{(n-1)(bp-aq)}\left [ \frac{(ax+b)^{m+1}}{(px+q)^{n-1}}+a(n-m-2)I_{m,n-1} \right ]   \\
  -\frac{1}{(n-m-1)p}\left [ \frac{(ax+b)^m}{(px+q)^{n-1}}+m(bp-aq)I_{m-1,n} \right ]  \\
  -\frac{1}{(n-1)p}\left [ \frac{(ax+b)^m}{(px+q)^{n-1}}-amI_{m-1,n-1} \right ]
\end{cases}\,\!</math>
|}

{| class="wikitable"
|-
! 積分!! 漸化式
|-
| <math>I_n=\int \frac{(px+q)^n}{\sqrt{ax+b}} \,\text{d}x\,\!</math> || <math>\int (px+q)^n\sqrt{ax+b} \,\text{d}x  = \frac{2(px+q)^{n+1}\sqrt{ax+b}}{p(2n+3)}+\frac{bp-aq}{p(2n+3)}I_n\,\!</math>

<math>I_n=\frac{2(px+q)^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)}+\frac{2n(aq-bp)}{a(2n+1)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_n=\int \frac{\text{d}x}{(px+q)^n\sqrt{ax+b}}\,\!</math> || <math>\int \frac{\sqrt{ax+b}}{(px+q)^n}\,\text{d}x = -\frac{\sqrt{ax+b}}{p(n-1)(px+q)^{n-1}}+\frac{a}{2p(n-1)}I_{n}\,\!</math>

<math>I_n= -\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)(aq-bp)(px+q)^{n-1}}+\frac{a(2n-3)}{2(n-1)(aq-bp)}I_{n-1}\,\!</math>
|}

{| class="wikitable"
|-
! 積分!! 漸化式
|-
| <math>I_n= \int \frac{\text{d}x}{(x^2+a^2)^n}\,\!</math> || <math>I_n= \frac{x}{2a^2(n-1)(x^2+a^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(x^2+a^2)^n}\,\!</math> || <math>a^2I_{n,m}= I_{m,n-1}-I_{m-2,n}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(x^2+a^2)^n} \,\text{d}x\,\!</math> || <math>I_{n,m}= I_{m-2,n-1}-a^2I_{m-2,n}\,\!</math>
|}

{| class="wikitable"
|-
! 積分!! 漸化式
|-
| <math>I_n= \int \frac{\text{d}x}{(x^2-a^2)^n}\,\!</math> || <math>I_n= -\frac{x}{2a^2(n-1)(x^2-a^2)^{n-1}}-\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(x^2-a^2)^n}\,\!</math> || <math>{a^2}I_{n,m}= I_{m-2,n}-I_{m,n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(x^2-a^2)^n} \,\text{d}x\,\!</math> || <math>I_{n,m}= I_{m-2,n-1}+a^2I_{m-2,n}\,\!</math>
|}

{| class="wikitable"
|-
! 積分!! 漸化式
|-
| <math>I_n= \int \frac{\text{d}x}{(a^2-x^2)^n}\,\!</math> || <math>I_n= \frac{x}{2a^2(n-1)(a^2-x^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(a^2-x^2)^n}\,\!</math>  || <math>{a^2}I_{n,m}= I_{m,n-1}+I_{m-2,n}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(a^2-x^2)^n} \,\text{d}x\,\!</math> || <math>I_{n,m}= a^2I_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}\,\!</math>
|}

{| class="wikitable"
|-
! 積分!! 漸化式
|-
| <math>I_n = \int \frac{\text{d}x}{{x^n}(ax^2+bx+c)}\,\!</math> || <math>-cI_n =\frac{1}{x^{n-1}(n-1)}+ bI_{n-1}+aI_{n-2}\,\!</math>
|-
| <math>I_{m,n}=\int \frac{x^m \,\text{d}x}{(ax^2+bx+c)^n}\,\!</math> || <math>I_{m,n}= -\frac{x^{m-1}}{a(2n-m-1)(ax^2+bx+c)^{n-1}} - \frac{b(n-m)}{a(2n-m-1)}I_{m-1,n} + \frac{c(m-1)}{a(2n-m-1)}I_{m-2,n}\,\!</math>
|-
| <math>I_{m,n}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(ax^2+bx+c)^n}\,\!</math> || <math>-c(m-1)I_{m,n}= \frac{1}{x^{m-1}(ax^2+bx+c)^{n-1}}+{a(m+2n-3)}I_{m-2,n}+{b(m+n-2)}I_{m-1,n}\,\!</math>
|-
|}

{| class="wikitable"
|-
! 積分!! 漸化式
|-
| <math>I_n = \int (ax^2+bx+c)^n\,\text{d}x\,\!</math> || <math>8a(n+1)I_{n+\frac{1}{2}} = 2(2ax+b)(ax^2+bx+c)^{n+\frac{1}{2}} + (2n+1)(4ac-b^2)I_{n-\frac{1}{2}}\,\!</math>
|-
| <math>I_n = \int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^n}\,\text{d}x\,\!</math> || <math>(2n-1)(4ac-b^2)I_{n+\frac{1}{2}} = \frac{2(2ax+b)}{(ax^2+bx+c)^{n-\frac{1}{2}}}+{8a(n-1)}I_{n-\frac{1}{2}}\,\!</math>
|-
|}

:<math>I_{n+\frac{1}{2}} =  I_{\frac{2n+1}{2}} =\int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^{\frac{2n+1}{2}}}\,\text{d}x = \int \frac{1}{\sqrt{(ax^2+bx+c)^{2n+1}}}\,\text{d}x\,\!</math>

===超越関数===
{{main article|超越関数}}

以下の積分は、これらを含む<ref>http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite integrals list</ref>。
*正弦(sin)因子
*余弦(cos)因子
*正弦と余弦の積や商の因子
*指数因子やxの冪乗の積や商
*指数と正弦/余弦因子の積

{| class="wikitable"
|-
! 積分!! 漸化式
|-
| <math>I_n=\int x^n \sin{ax} \,\text{d}x\,\!</math> || <math>a^2I_n=-ax^n \cos{ax} + nx^{n-1} \sin{ax} - n(n-1) I_{n-2} \,\!</math>
|-
| <math>J_n=\int x^n \cos{ax} \,\text{d}x \,\!</math> || <math>a^2J_n=ax^n \sin{ax} + nx^{n-1} \cos{ax} - n(n-1) J_{n-2} \,\!</math>
|-
| <math> I_n = \int \frac{\sin{ax}}{x^n} \,\text{d}x\,\!</math>

<math>J_n = \int \frac{\cos{ax}}{x^n} \,\text{d}x \,\!</math>
|| <math>I_n = -\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}J_{n-1}\,\!</math>

<math>J_n = -\frac{\cos{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}I_{n-1}\,\!</math>

the formulae can be combined to obtain separate equations in ''I<sub>n</sub>'':

<math>J_{n-1} = -\frac{\cos{ax}}{(n-2)x^{n-2}}-\frac{a}{n-2}I_{n-2}\,\!</math>

<math>I_n = -\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\left [\frac{\cos{ax}}{(n-2)x^{n-2}}+\frac{a}{n-2}I_{n-2}\right ] \,\!</math>

<math> \therefore I_n = -\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{(n-1)(n-2)}\left (\frac{\cos{ax}}{x^{n-2}}+aI_{n-2}\right ) \,\!</math>

and ''J<sub>n</sub>'':

<math>I_{n-1} = -\frac{\sin{ax}}{(n-2)x^{n-2}}+\frac{a}{n-2}J_{n-2}\,\!</math>

<math>J_n = -\frac{\cos{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\left [-\frac{\sin{ax}}{(n-2)x^{n-2}}+\frac{a}{n-2}J_{n-2}  \right ]\,\!</math>

<math> \therefore J_n = -\frac{\cos{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{(n-1)(n-2)}\left (-\frac{\sin{ax}}{x^{n-2}}+aJ_{n-2}  \right )\,\!</math>
|-
| <math>I_n = \int \sin^n{ax} \,\text{d}x\,\!</math> || <math>anI_n = -\sin^{n-1}{ax}\cos{ax}+a(n-1)I_{n-2}\,\!</math>
|-
| <math>J_n = \int \cos^n{ax} \,\text{d}x\,\!</math> || <math>anJ_n = \sin{ax}\cos^{n-1}{ax}+a(n-1)J_{n-2}\,\!</math>
|-
| <math>I_n = \int \frac{\text{d}x}{\sin^n{ax}}\,\!</math> || <math>(n-1)I_n = - \frac{\cos{ax}}{a\sin^{n-1}{ax}}+ (n-2)I_{n-2}\,\!</math>
|-
| <math>J_n = \int \frac{\text{d}x}{\cos^n{ax}}\,\!</math> || <math>(n-1)J_n = \frac{\sin{ax}}{a\cos^{n-1}{ax}}+ (n-2)J_{n-2}\,\!</math>
|-
|}

{| class="wikitable"
|-
! 積分!! 漸化式
|-
| <math>I_{m,n} = \int \sin^m{ax}\cos^n{ax}\,\text{d}x\,\!</math> || <math>I_{m,n} = \begin{cases}
    -\frac{\sin^{m-1}{ax}\cos^{n+1}{ax}}{a(m+n)}+\frac{m-1}{m+n}I_{m-2,n} \\
    \frac{\sin^{m+1}{ax}\cos^{n-1}{ax}}{a(m+n)}+\frac{n-1}{m+n}I_{m,n-2} \\
\end{cases}\,\!</math>
|-
| <math>I_{m,n} = \int \frac{\text{d}x}{\sin^m{ax}\cos^n{ax}}\,\!</math> || <math>I_{m,n} = \begin{cases}
    \frac{1}{a(n-1)\sin^{m-1}{ax}\cos^{n-1}{ax}}+\frac{m+n-2}{n-1}I_{m,n-2} \\
    -\frac{1}{a(m-1)\sin^{m-1}{ax}\cos^{n-1}{ax}}+\frac{m+n-2}{m-1}I_{m-2,n} \\
\end{cases}\,\!</math>
|-
| <math>I_{m,n} = \int \frac{\sin^m{ax}}{\cos^n{ax}}\,\text{d}x\,\!</math> || <math>I_{m,n} = \begin{cases}
    \frac{\sin^{m-1}{ax}}{a(n-1)\cos^{n-1}{ax}}-\frac{m-1}{n-1}I_{m-2,n-2} \\
    \frac{\sin^{m+1}{ax}}{a(n-1)\cos^{n-1}{ax}}-\frac{m-n+2}{n-1}I_{m,n-2} \\
    -\frac{\sin^{m-1}{ax}}{a(m-n)\cos^{n-1}{ax}}+\frac{m-1}{m-n}I_{m-2,n} \\
\end{cases}\,\!</math>
|-
| <math>I_{m,n} =  \int \frac{\cos^m{ax}}{\sin^n{ax}}\,\text{d}x\,\!</math> || <math>I_{m,n} = \begin{cases}
    -\frac{\cos^{m-1}{ax}}{a(n-1)\sin^{n-1}{ax}}-\frac{m-1}{n-1}I_{m-2,n-2} \\
    -\frac{\cos^{m+1}{ax}}{a(n-1)\sin^{n-1}{ax}}-\frac{m-n+2}{n-1}I_{m,n-2} \\
    \frac{\cos^{m-1}{ax}}{a(m-n)\sin^{n-1}{ax}}+\frac{m-1}{m-n}I_{m-2,n} \\
\end{cases}\,\!</math>
|-
|}

{| class="wikitable"
|-
! 積分!! 漸化式
|-
| <math>I_{n} = \int x^n e^{ax}\,\text{d}x\,\!</math>

<math>n > 0\,\!</math>
| <math> I_{n} = \frac{x^n e^{ax}}{a} - \frac{n}{a}I_{n-1} \,\!</math>
|-
| <math>I_{n} = \int x^{-n} e^{ax} \,\text{d}x\,\!</math>

<math>n > 0\,\!</math>

<math>n \neq 1\,\!</math>
| <math> I_{n} = \frac{- e^{ax}}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{a}{n-1}I_{n-1} \,\!</math>
|-
| <math>I_{n} = \int e^{ax} \sin^n{bx} \,\text{d}x\,\!</math>
| <math> I_{n} = \frac{e^{ax} \sin^{n-1}{bx}}{a^2+(bn)^2}\left ( a\sin bx - bn\cos bx \right ) + \frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn)^2}I_{n-2} \,\!</math>
|-
| <math>I_{n} = \int e^{ax} \cos^n{bx} \,\text{d}x\,\!</math>
| <math> I_{n} = \frac{e^{ax} \cos^{n-1}{bx}}{a^2+(bn)^2}\left ( a\cos bx + bn\sin bx \right ) + \frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn)^2}I_{n-2} \,\!</math>
|-
|}

==出典==

{{Reflist}}

==参考文献==
{{wikibooks|Calculus/Integration techniques/Reduction Formula}}
*Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7th edition.

{{Integral}}
{{DEFAULTSORT:せんかしきによるせきふん}}
[[Category:積分法]]
[[Category:数学に関する記事]]