漸化式による積分

テンプレート:Calculus 漸化式による積分（ぜんかしきによるせきぶん、Integration by reduction formulae）は、漸化式による積分の計算方法である。この方法は、整数のパラメータ（通常は初等関数のべき乗）又は超越関数と任意の次数の多項式の積を数式が含み、直接積分できない場合に使われる。

漸化式の見つけ方

漸化式は、置換積分、部分積分、テンプレート:仮リンクによる積分、部分分数分解による積分などの一般的な積分方法のいずれかを使用して導出できる。主なアイデアは、関数（I_nで表される）の整数パラメータ（例えばべき乗）を、例えばI_n-1やI_n-2で表されるより低い値のパラメータ（例えばより低いべき乗）を含む積分で表すことである。これにより、漸化式が導出される。漸化式において、積分

$I_n=\int f(x,n)\text{d}x,$

は以下の式

$I_k=\int f(x,k)\text{d}x,$

で表される。 ここで

$k<n.$

である。

積分の計算方法

積分を計算するには、漸化式を使用してnの積分を(n – 1) や (n – 2) の積分で表す。より低い指数の積分は、より高い指数の積分を計算するために使用できる。これを積分される関数が計算できる（通常は指数が０又は１）ところまで繰り返し、逆代入することでI_nを計算する。

例

計算手順の例を示す。

余弦積分

以下の積分は、漸化式により計算できる。

$\int {\cos }^{n}x\text{d}x,$

n = 1, 2 ... 30のときの$\int {\cos }^n(x)\text{d}x$

初めに、I_nを以下のように定義する。

$I_n=\int {\cos }^{n}x\text{d}x.$

I_nは以下のように書き換えられる。

$I_n=\int {\cos }^{n-1}x\cos x\text{d}x,$

以下のように設定し、置換積分を行う。

$\cos x\text{d}x=\text{d}(\sin x),$

$I_n=\int {\cos }^{n-1}x\text{d}(\sin x).$

計算結果は以下のようになる。

$\begin{array}{cc}\int {\cos }^{n}x\text{d}x& ={\cos }^{n-1}x\sin x-\int \sin x\text{d}({\cos }^{n-1}x)\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \sin x{\cos }^{n-2}x\sin x\text{d}x\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)\int {\cos }^{n-2}x{\sin }^{2}x\text{d}x\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)\int {\cos }^{n-2}x(1-{\cos }^{2}x)\text{d}x\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)\int {\cos }^{n-2}x\text{d}x-(n-1)\int {\cos }^{n}x\text{d}x\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n,\end{array}$

これによりI_nは以下の漸化式で表される。

$I_n+(n-1)I_n={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2},$

$n{I}_n={\cos }^{n-1}(x)\sin x+(n-1)I_{n-2},$

$I_n=\frac{1}{n}{\cos }^{n-1}x\sin x+\frac{n-1}{n}{I}_{n-2},$

これにより漸化式は

$\int {\cos }^{n}x\text{d}x=\frac{1}{n}{\cos }^{n-1}x\sin x+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}x\text{d}x.$

となる。n = 5の場合は以下のように計算できる。

$I_5=\int {\cos }^{5}x\text{d}x.$

低い次数のI_nを計算する。

$n=5,I_5=\frac{1}{5}{\cos }^{4}x\sin x+\frac{4}{5}{I}_3,$

$n=3,I_3=\frac{1}{3}{\cos }^{2}x\sin x+\frac{2}{3}{I}_1,$

逆代入すると、

$\because I_1=\int \cos x\text{d}x=\sin x+C_1,$

$\therefore I_3=\frac{1}{3}{\cos }^{2}x\sin x+\frac{2}{3}\sin x+C_2,C_2=\frac{2}{3}{C}_1,$

となり、最終的にI₅は以下のように計算される。

$I_5=\frac{1}{5}{\cos }^{4}x\sin x+\frac{4}{5}[\frac{1}{3}{\cos }^{2}x\sin x+\frac{2}{3}\sin x]+C,$

Cは定数である。

指数積分

$\int x^n{e}^{ax}\text{d}x.$

初めに、I_nを以下のように定義する。

$I_n=\int x^n{e}^{ax}\text{d}x.$

以下のように設定し、置換積分を行う。

$x^n\text{d}x=\frac{\text{d}(x^{n+1})}{n+1},$

$I_n=\frac{1}{n+1}\int e^{ax}\text{d}(x^{n+1}),$

計算結果は以下のようになる。

$\begin{array}{cc}\int e^{ax}\text{d}(x^{n+1})& =x^{n+1}{e}^{ax}-\int x^{n+1}\text{d}(e^{ax})\\ & =x^{n+1}{e}^{ax}-a\int x^{n+1}{e}^{ax}\text{d}x,\end{array}$

$(n+1)I_n=x^{n+1}{e}^{ax}-a{I}_{n+1},$

指数を１つずらし、n + 1 → n, n → n – 1とすると、

$n{I}_{n-1}=x^n{e}^{ax}-a{I}_n,$

となる。I_nを解くと

$I_n=\frac{1}{a}(x^n{e}^{ax}-n{I}_{n-1}),$

となる。漸化式は

$\int x^n{e}^{ax}\text{d}x=\frac{1}{a}(x^n{e}^{ax}-n\int x^{n-1}{e}^{ax}\text{d}x).$

となる。

$e^{ax}$を置換することによっても、導出することができる。以下のように設定し、置換積分を行う。

$e^{ax}\text{d}x=\frac{\text{d}(e^{ax})}{a},$

$I_n=\frac{1}{a}\int x^n\text{d}(e^{ax}),$

計算結果は以下のようになる。

$\begin{array}{cc}\int x^n\text{d}(e^{ax})& =x^n{e}^{ax}-\int e^{ax}\text{d}(x^n)\\ & =x^n{e}^{ax}-n\int e^{ax}{x}^{n-1}\text{d}x,\end{array}$

逆代入すると

$I_n=\frac{1}{a}(x^n{e}^{ax}-n{I}_{n-1}),$

となり、式は

$\int x^n{e}^{ax}\text{d}x=\frac{1}{a}(x^n{e}^{ax}-n\int x^{n-1}{e}^{ax}\text{d}x).$

となる。

部分積分によっても導出することができる。

$I_n=\int x^{n}x{e}^{ax}\text{d}x,$

$u=x^n\text{ , }dv=e^{ax},$

$\frac{du}{dx}=n{x}^{n-1}\text{ , }v=\frac{e^{ax}}{a}$

$I_n=\frac{x^n{e}^{ax}}{a}-\int n{x}^{n-1}\frac{e^{ax}}{a}\text{d}x$

$I_n=\frac{x^n{e}^{ax}}{a}-\frac{n}{a}\int x^{n-1}{e}^{ax}\text{d}x$

ここで

$I_{n-1}=\int x^{n-1}{e}^{ax}\text{d}x$

$\therefore I_n=\frac{x^n{e}^{ax}}{a}-\frac{n}{a}{I}_{n-1}$

となるため、逆代入すると以下のようになる。

$I_n=\frac{1}{a}(x^n{e}^{ax}-n{I}_{n-1}),$

これは以下の式に等しい。

$\int x^n{e}^{ax}\text{d}x=\frac{1}{a}(x^n{e}^{ax}-n\int x^{n-1}{e}^{ax}\text{d}x).$

漸化式の表

有理関数

以下の積分は、これらを含む。

• 線形根号の因子 $\sqrt{ax+b}$
• 線形因子 $px+q$ と線形根号 $\sqrt{ax+b}$
• 二次因子 $x^2+a^2$
• 二次因子 $x^2-a^2$, for $x>a$
• 二次因子 $a^2-x^2$, for $x<a$
• (既約) 二次因子 $a{x}^2+bx+c$
• 既約多項式因子の根号 $\sqrt{a{x}^2+bx+c}$

積分	漸化式
$I_n=\int \frac{x^n}{\sqrt{ax+b}}\text{d}x$	$I_n=\frac{2x^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)}-\frac{2nb}{a(2n+1)}{I}_{n-1}$
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{x^n\sqrt{ax+b}}$	$I_n=-\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)b{x}^{n-1}}-\frac{a(2n-3)}{2b(n-1)}{I}_{n-1}$
$I_n=\int x^n\sqrt{ax+b}\text{d}x$	$I_n=\frac{2x^n\sqrt{(ax+b{)}^3}}{a(2n+3)}-\frac{2nb}{a(2n+3)}{I}_{n-1}$
$I_{m,n}=\int \frac{\text{d}x}{(ax+b{)}^m(px+q{)}^n}$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}-\frac{1}{(n-1)(bp-aq)}[\frac{1}{(ax+b{)}^{m-1}(px+q{)}^{n-1}}+a(m+n-2)I_{m,n-1}]\\ \frac{1}{(m-1)(bp-aq)}[\frac{1}{(ax+b{)}^{m-1}(px+q{)}^{n-1}}+p(m+n-2)I_{m-1,n}]\end{array}$
$I_{m,n}=\int \frac{(ax+b{)}^m}{(px+q{)}^n}\text{d}x$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}-\frac{1}{(n-1)(bp-aq)}[\frac{(ax+b{)}^{m+1}}{(px+q{)}^{n-1}}+a(n-m-2)I_{m,n-1}]\\ -\frac{1}{(n-m-1)p}[\frac{(ax+b{)}^m}{(px+q{)}^{n-1}}+m(bp-aq)I_{m-1,n}]\\ -\frac{1}{(n-1)p}[\frac{(ax+b{)}^m}{(px+q{)}^{n-1}}-am{I}_{m-1,n-1}]\end{array}$

積分	漸化式
$I_n=\int \frac{(px+q{)}^n}{\sqrt{ax+b}}\text{d}x$	$\int (px+q{)}^n\sqrt{ax+b}\text{d}x=\frac{2(px+q{)}^{n+1}\sqrt{ax+b}}{p(2n+3)}+\frac{bp-aq}{p(2n+3)}{I}_n$ $I_n=\frac{2(px+q{)}^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)}+\frac{2n(aq-bp)}{a(2n+1)}{I}_{n-1}$
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{(px+q{)}^n\sqrt{ax+b}}$	$\int \frac{\sqrt{ax+b}}{(px+q{)}^n}\text{d}x=-\frac{\sqrt{ax+b}}{p(n-1)(px+q{)}^{n-1}}+\frac{a}{2p(n-1)}{I}_n$ $I_n=-\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)(aq-bp)(px+q{)}^{n-1}}+\frac{a(2n-3)}{2(n-1)(aq-bp)}{I}_{n-1}$

積分	漸化式
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{(x^2+a^2{)}^n}$	$I_n=\frac{x}{2a^2(n-1)(x^2+a^2{)}^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}{I}_{n-1}$
$I_{n,m}=\int \frac{\text{d}x}{x^m(x^2+a^2{)}^n}$	$a^2{I}_{n,m}=I_{m,n-1}-I_{m-2,n}$
$I_{n,m}=\int \frac{x^m}{(x^2+a^2{)}^n}\text{d}x$	$I_{n,m}=I_{m-2,n-1}-a^2{I}_{m-2,n}$

積分	漸化式
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{(x^2-a^2{)}^n}$	$I_n=-\frac{x}{2a^2(n-1)(x^2-a^2{)}^{n-1}}-\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}{I}_{n-1}$
$I_{n,m}=\int \frac{\text{d}x}{x^m(x^2-a^2{)}^n}$	$a^2{I}_{n,m}=I_{m-2,n}-I_{m,n-1}$
$I_{n,m}=\int \frac{x^m}{(x^2-a^2{)}^n}\text{d}x$	$I_{n,m}=I_{m-2,n-1}+a^2{I}_{m-2,n}$

積分	漸化式
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{(a^2-x^2{)}^n}$	$I_n=\frac{x}{2a^2(n-1)(a^2-x^2{)}^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}{I}_{n-1}$
$I_{n,m}=\int \frac{\text{d}x}{x^m(a^2-x^2{)}^n}$	$a^2{I}_{n,m}=I_{m,n-1}+I_{m-2,n}$
$I_{n,m}=\int \frac{x^m}{(a^2-x^2{)}^n}\text{d}x$	$I_{n,m}=a^2{I}_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}$

積分	漸化式
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{x^n(a{x}^2+bx+c)}$	$-c{I}_n=\frac{1}{x^{n-1}(n-1)}+b{I}_{n-1}+a{I}_{n-2}$
$I_{m,n}=\int \frac{x^m\text{d}x}{(a{x}^2+bx+c{)}^n}$	$I_{m,n}=-\frac{x^{m-1}}{a(2n-m-1)(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}-\frac{b(n-m)}{a(2n-m-1)}{I}_{m-1,n}+\frac{c(m-1)}{a(2n-m-1)}{I}_{m-2,n}$
$I_{m,n}=\int \frac{\text{d}x}{x^m(a{x}^2+bx+c{)}^n}$	$-c(m-1)I_{m,n}=\frac{1}{x^{m-1}(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}+a(m+2n-3)I_{m-2,n}+b(m+n-2)I_{m-1,n}$

積分	漸化式
$I_n=\int (a{x}^2+bx+c{)}^n\text{d}x$	$8a(n+1)I_{n+\frac{1}{2}}=2(2ax+b)(a{x}^2+bx+c{)}^{n+\frac{1}{2}}+(2n+1)(4ac-b^2)I_{n-\frac{1}{2}}$
$I_n=\int \frac{1}{(a{x}^2+bx+c{)}^n}\text{d}x$	$(2n-1)(4ac-b^2)I_{n+\frac{1}{2}}=\frac{2(2ax+b)}{(a{x}^2+bx+c{)}^{n-\frac{1}{2}}}+8a(n-1)I_{n-\frac{1}{2}}$

$I_{n+\frac{1}{2}}=I_{\frac{2n+1}{2}}=\int \frac{1}{(a{x}^2+bx+c{)}^{\frac{2n+1}{2}}}\text{d}x=\int \frac{1}{\sqrt{(a{x}^2+bx+c{)}^{2n+1}}}\text{d}x$

超越関数

以下の積分は、これらを含む。

• 正弦(sin)因子
• 余弦(cos)因子
• 正弦と余弦の積や商の因子
• 指数因子やxの冪乗の積や商
• 指数と正弦/余弦因子の積

積分	漸化式
$I_n=\int x^n\sin ax\text{d}x$	$a^2{I}_n=-a{x}^n\cos ax+n{x}^{n-1}\sin ax-n(n-1)I_{n-2}$
$J_n=\int x^n\cos ax\text{d}x$	$a^2{J}_n=a{x}^n\sin ax+n{x}^{n-1}\cos ax-n(n-1)J_{n-2}$
$I_n=\int \frac{\sin ax}{x^n}\text{d}x$ $J_n=\int \frac{\cos ax}{x^n}\text{d}x$	$I_n=-\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}{J}_{n-1}$ $J_n=-\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}{I}_{n-1}$ the formulae can be combined to obtain separate equations in In: $J_{n-1}=-\frac{\cos ax}{(n-2)x^{n-2}}-\frac{a}{n-2}{I}_{n-2}$ $I_n=-\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}[\frac{\cos ax}{(n-2)x^{n-2}}+\frac{a}{n-2}{I}_{n-2}]$ $\therefore I_n=-\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{(n-1)(n-2)}(\frac{\cos ax}{x^{n-2}}+a{I}_{n-2})$ and Jn: $I_{n-1}=-\frac{\sin ax}{(n-2)x^{n-2}}+\frac{a}{n-2}{J}_{n-2}$ $J_n=-\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}[-\frac{\sin ax}{(n-2)x^{n-2}}+\frac{a}{n-2}{J}_{n-2}]$ $\therefore J_n=-\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{(n-1)(n-2)}(-\frac{\sin ax}{x^{n-2}}+a{J}_{n-2})$
$I_n=\int {\sin }^{n}ax\text{d}x$	$an{I}_n=-{\sin }^{n-1}ax\cos ax+a(n-1)I_{n-2}$
$J_n=\int {\cos }^{n}ax\text{d}x$	$an{J}_n=\sin ax{\cos }^{n-1}ax+a(n-1)J_{n-2}$
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{{\sin }^{n}ax}$	$(n-1)I_n=-\frac{\cos ax}{a{\sin }^{n-1}ax}+(n-2)I_{n-2}$
$J_n=\int \frac{\text{d}x}{{\cos }^{n}ax}$	$(n-1)J_n=\frac{\sin ax}{a{\cos }^{n-1}ax}+(n-2)J_{n-2}$

積分	漸化式
$I_{m,n}=\int {\sin }^{m}ax{\cos }^{n}ax\text{d}x$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}-\frac{{\sin }^{m-1}ax{\cos }^{n+1}ax}{a(m+n)}+\frac{m-1}{m+n}{I}_{m-2,n}\\ \frac{{\sin }^{m+1}ax{\cos }^{n-1}ax}{a(m+n)}+\frac{n-1}{m+n}{I}_{m,n-2}\end{array}$
$I_{m,n}=\int \frac{\text{d}x}{{\sin }^{m}ax{\cos }^{n}ax}$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}\frac{1}{a(n-1){\sin }^{m-1}ax{\cos }^{n-1}ax}+\frac{m+n-2}{n-1}{I}_{m,n-2}\\ -\frac{1}{a(m-1){\sin }^{m-1}ax{\cos }^{n-1}ax}+\frac{m+n-2}{m-1}{I}_{m-2,n}\end{array}$
$I_{m,n}=\int \frac{{\sin }^{m}ax}{{\cos }^{n}ax}\text{d}x$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}\frac{{\sin }^{m-1}ax}{a(n-1){\cos }^{n-1}ax}-\frac{m-1}{n-1}{I}_{m-2,n-2}\\ \frac{{\sin }^{m+1}ax}{a(n-1){\cos }^{n-1}ax}-\frac{m-n+2}{n-1}{I}_{m,n-2}\\ -\frac{{\sin }^{m-1}ax}{a(m-n){\cos }^{n-1}ax}+\frac{m-1}{m-n}{I}_{m-2,n}\end{array}$
$I_{m,n}=\int \frac{{\cos }^{m}ax}{{\sin }^{n}ax}\text{d}x$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}-\frac{{\cos }^{m-1}ax}{a(n-1){\sin }^{n-1}ax}-\frac{m-1}{n-1}{I}_{m-2,n-2}\\ -\frac{{\cos }^{m+1}ax}{a(n-1){\sin }^{n-1}ax}-\frac{m-n+2}{n-1}{I}_{m,n-2}\\ \frac{{\cos }^{m-1}ax}{a(m-n){\sin }^{n-1}ax}+\frac{m-1}{m-n}{I}_{m-2,n}\end{array}$

積分	漸化式
$I_n=\int x^n{e}^{ax}\text{d}x$ $n>0$	$I_n=\frac{x^n{e}^{ax}}{a}-\frac{n}{a}{I}_{n-1}$
$I_n=\int x^{-n}{e}^{ax}\text{d}x$ $n>0$ $n\ne 1$	$I_n=\frac{-e^{ax}}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}{I}_{n-1}$
$I_n=\int e^{ax}{\sin }^{n}bx\text{d}x$	$I_n=\frac{e^{ax}{\sin }^{n-1}bx}{a^2+(bn{)}^2}(a\sin bx-bn\cos bx)+\frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn{)}^2}{I}_{n-2}$
$I_n=\int e^{ax}{\cos }^{n}bx\text{d}x$	$I_n=\frac{e^{ax}{\cos }^{n-1}bx}{a^2+(bn{)}^2}(a\cos bx+bn\sin bx)+\frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn{)}^2}{I}_{n-2}$

参考文献

• Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7th edition.