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{{参照方法|date=2015年11月}}
'''漸近展開'''（ぜんきんてんかい、{{lang-en-short|Asymptotic expansion}}）とは、与えられた[[関数 (数学)|関数]]を、より簡単な形をした関数列の[[級数]]として近似することをいう。[[テイラー展開]]は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に[[収束級数|収束]]するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は[[解析学]] (例えば[[複素解析]]<ref>Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. [[:en:Cambridge University Press]].</ref>や[[特殊関数]]に対する[[数値解析]]<ref>Gil, A., Segura, J., & Temme, N. M. (2007). Numerical methods for special functions. [[:en:Society for Industrial and Applied Mathematics]].</ref>など) では重要な手法の一つであり、[[確率論]]の基礎として用いることがある<ref>伏見 p. 22</ref>。

== 漸近級数 ==
関数 <math>\scriptstyle f(x)\!</math> を定義域が[[実数]]の領域で定義された関数とし<ref group="注釈">漸近展開は[[複素数]]の領域にも拡張することができるが、ここでは定義や結果等を簡単にするため、実数の領域に限定する。</ref>、<math>x_0</math> を  <math>\scriptstyle f(x)\!</math> の定義域内の点とする。

関数列 <math>\scriptstyle\{ \varphi_n(x) \}_{n\ge 0}</math> が次の条件を満たすとき、'''漸近関数列'''という。
* <math>\varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_{n}(x))\ \ \ (x\to x_0)\ \ \ \ (n = 0,\ 1,\ 2,\ldots)</math>

実数列 <math>\scriptstyle\{ a_n \}_{n\ge 0}</math> が存在して、任意の正整数 ''n'' に対し
{{Indent|<math>
f(x) - \sum_{k=0}^n a_k\varphi_k(x) = o(\varphi_n(x))\ \ \ \ \ (x\to x_0)
</math>}}
が成立するとき、
{{Indent|<math>
\sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)
</math>}}
を <math>\scriptstyle f(x)\!</math> の'''漸近級数'''といい、
{{Indent|<math>
f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)
</math>}}
と表す。

さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、'''ポアンカレの意味での漸近級数'''または'''狭義の漸近級数'''という<ref>伏見 p. 27</ref>。
* 任意の正整数 ''n''、<math>\scriptstyle f(x)\!</math> の定義域内の ''x'' に対して
:: <math>\left|f(x) - \sum_{k=0}^n a_k\varphi_k(x)\right| < |a_{n+1}\varphi_{n+1}(x)|</math>
: が成立する。

漸近関数列が <math>\scriptstyle\{ (x-x_0)^n \}_{n\ge 0}</math> <math>\scriptstyle(|x_0|<\infty)</math> または  <math>\scriptstyle\{ x^{-n} \}_{n\ge 0}</math> <math>\scriptstyle(|x_0|=\infty)</math> の形の漸近級数を、'''漸近冪級数'''という。

与えられた漸近関数列を用いて、<math>\scriptstyle f(x)\!</math> の漸近級数を得ることを'''漸近展開'''といい、
<math>\scriptstyle f(x)\!</math> の漸近級数 <math>\textstyle\sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)</math> が存在する場合、
<math>\scriptstyle f(x)\!</math> は漸近展開
{{Indent|<math>
f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)
</math>}}
を持つという。

== 性質 ==
=== 一意性 ===
任意の関数 <math>\scriptstyle f(x)\!</math> に対して、<math>\scriptstyle f(x)\!</math> に対する漸近級数は存在しても唯一とは限らない。例えば
* <math>1/(x-1)\sim\sum_{k=1}^{\infty}x^{-k}\ \ \ \ (x\to\infty)</math>
* <math>1/(x-1)\sim\sum_{k=1}^{\infty}(x^2+x+1)x^{-3k}\ \ \ \ (x\to\infty)</math>

しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯１つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。 

さらに、漸近級数の各係数は
{{Indent|<math>
a_0 = \lim_{x\to x_0} f(x),\ \ \ \ \ a_n = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - \sum_{k=0}^{n-1}a_k\varphi_k(x)}{\varphi_n(x)}\ \ \ (n\ge 1)
</math>}}
で与えられる。

=== 和と積 ===
点 <math>x_0</math> の近傍で定義された関数 <math>\scriptstyle f(x),\ g(x)</math> は、漸近関数列 <math>\scriptstyle\{ \varphi_n(x) \}_{n\ge 0}</math> に対する漸近展開
{{Indent|<math>
f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)\ \ \ \ \ g(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}b_k\varphi_k(x)\ \ \ (x\to x_0)
</math>}}
を持つとする。このとき、任意の &alpha;、&beta; に対して
{{Indent|<math>
\alpha f(x) + \beta g(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}(\alpha a_k + \beta b_k)\varphi_k(x)\ \ \ (x\to x_0)
</math>}}
が成立する。

さらに、漸近関数列が <math>\scriptstyle\{ \varphi(x)^n \}_{n\ge 0}</math> <math>\scriptstyle(\varphi(x)\to\infty\ (x\to x_0))</math> である場合、 
{{Indent|<math>
f(x)g(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty}c_n\varphi(x)^n\ \ \ (c_n = \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k})\ \ \ (x\to x_0)
</math>}}
が成立する。

=== 項別微分 ===
一般に、関数を無限級数で表したとき、項別[[微分]]した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。
項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。

漸近関数列 <math>\scriptstyle\{ \varphi_n(x) \}_{n\ge 0}</math> は各 ''n'' に対して、<math>x_0</math> の近傍で微分可能であり、関数列 <math>\scriptstyle\{ \varphi'_n(x) \}_{n\ge 0}</math> が漸近関数列である場合、以下のことが成立する。 

<math>\scriptstyle f(x)\!</math> は、<math>x_0</math> の近傍で微分可能であり、
{{Indent|<math>
f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)\ \ \ (x\to x_0)
</math>}}
となる漸近展開を持ち、<math>\scriptstyle f'(x)\!</math> が漸近関数列 <math>\scriptstyle\{ \varphi'_n(x) \}_{n\ge 0}</math> を用いて漸近展開することができるのであれば 
{{Indent|<math>
f'(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi'_k(x)\ \ \ (x\to x_0)
</math>}}
が成立する。

=== 項別積分 ===
<math>\scriptstyle|x_0|<\infty</math> とし、<math>\scriptstyle f(x)\!</math> の漸近展開を
{{Indent|<math>
f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)\ \ \ (x\to x_0)
</math>}}
とする。定[[積分]]
{{Indent|<math>
\Phi_n(x) = \int_{x_0}^x\varphi_n(t)dt
</math>}}
が各 ''n'' に対して存在するならば、
{{Indent|<math>
F(x) = \int_{x_0}^x f(t)dt
</math>}}
が存在して、
{{Indent|<math>
F(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\Phi_k(x)\ \ \ (x\to x_0)
</math>}}
が成立する。

<math>\scriptstyle x_0=\infty</math> のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいかない。
例えば、漸近級数が漸近冪級数
{{Indent|<math>
f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_k}{x^{k}}\ \ \ (x\to\infty)
</math>}}
を持つ場合、
{{Indent|<math>
\int_{x}^{\infty}\left(f(t) - a_0 - \frac{a_1}{t}\right)dt \sim \sum_{k=2}^{\infty}\frac{a_k}{(k-1)x^{k-1}}\ \ \ (x\to\infty)
</math>}}
とする必要がある。

== 例 ==
=== スターリングの公式の一般化 ===
[[ガンマ関数]]は
{{Indent|<math>
\Gamma(x+1) \sim \sqrt{2\pi x}\left(\frac{x}{e}\right)^x \left(1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots\right)\ \ \ (x\to\infty)
</math>}}
という漸近展開を持つ。特に、''x'' が正整数のときは[[階乗]]の漸近展開を与え、[[スターリングの公式]]よりも精密な近似級数になっている<ref>伏見 p. 24</ref>。
===合流型超幾何関数===
合流型[[超幾何級数#超幾何関数|超幾何関数]] ([[:en:confluent hypergeometric function]]):
:<math>_1F_1(\alpha;\gamma;z):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_n}{(\gamma)_n\;n!}z^n,\quad z\in\mathbb{C}</math>
は次の漸近展開を持つ<ref>[[犬井鉄郎]]. 特殊関数. [[岩波書店]].</ref><ref>時弘哲治. 工学における特殊関数. [[共立出版]].</ref><ref>[http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric1F1/06/02/ functions.wolfram.com]</ref>。
:<math>_1F_1(\alpha;\gamma;z)\sim\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)}(\exp(-\mathrm{i}\pi)z)^{-\alpha}\left[1+\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\frac{(\alpha)_k(\alpha-\gamma+1)_k}{k!}\frac{1}{z^k}\right]+\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)}\exp(z)z^{\alpha-\gamma}\left[1+\sum_{k=1}^\infty\frac{(\gamma-\alpha)_k(1-\alpha)_k}{k!}\frac{1}{z^k}\right],\quad-\frac{\pi}{2}<\arg(z)<\frac{3\pi}{2},\quad|z|\to\infty.</math>
<math>\arg</math>は[[複素数の偏角]]であり、<math>(\alpha)_k</math>は[[ポッホハマー記号]]<ref>Weisstein, Eric W. "Pochhammer Symbol." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html</ref>である。

=== 誤差関数 ===
[[誤差関数]]
{{Indent|<math>
\operatorname{erfc}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^{\infty} e^{-t^2} dt
</math>}}
は、以下の様な漸近展開を持つ<ref>Weisstein, Eric W. "Erf." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Erf.html</ref>。
{{Indent|<math>
\operatorname{erfc}(x) \sim \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}x}\left(\ 1 - \frac{1}{2x^2} + \frac{1\cdot 3}{2^2x^4} - \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2^3x^6} + \cdots\right)\ \ \ (x\to\infty)
</math>}}

=== 指数積分 ===
[[指数積分]]
{{Indent|<math>
\operatorname{Ei}(x) = \int_x^{\infty}\frac{e^{x-t}}{t}dt
</math>}}
の漸近展開は、
{{Indent|<math>
\operatorname{Ei}(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}\ \ \ \ (x\to\infty)
</math>}}
で与えられる。

=== ラプラス変換 ===
<math>\scriptstyle f(x)\!</math> を何回でも微分可能な関数としたとき、<math>\scriptstyle f(x)\!</math> の[[ラプラス変換]] 
{{Indent|<math>
F(x) = \int_0^{\infty}f(t)e^{-xt}dt
</math>}}
の漸近展開は、
{{Indent|<math>
F(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty}f^{(n)}(0)\frac{1}{x^{n+1}}\ \ \ \ (x\to\infty)
</math>}}
で与えられる。

=== 微分方程式の解 ===
[[微分方程式]]
{{Indent|<math>
x^2y'' + (3x+1)y' + y = 0
\!</math>}}
の解は
{{Indent|<math>
y(x) = \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-t}}{1+xt}dt
</math>}}
で与えられ、
{{Indent|<math>
y(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n n! x^n\ \ \ \ (x\to 0)
</math> 。}}
という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の <math>\scriptstyle x\ne 0</math> で収束しないが<ref group="注釈">各 ''x'' に対して、最初の数項（項数は ''x'' に依存する）までの和を取れば、積分表示された解のいい近似を与える。</ref>、右辺の級数は上記の微分方程式を満たす。

[[求積法]]等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。

=== 調和級数 ===
[[調和級数]]は
{{Indent|:<math>H_n \sim \ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k n^{2k}}=\ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots,</math>}}

という漸近展開を持つ<ref>Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Harmonic Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html</ref>。ここで、<math>\gamma</math>は[[オイラー・マスケローニ定数]]、<math>B_{k} </math>は[[ベルヌーイ数]]である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
<references />

== 学習用図書 ==
{{Refbegin|2}}
===和書===
* {{Cite book|和書|author=大久保謙二郎 |last2=河野 |first2=實彦|year=1976 |title=漸近展開 |series=シリーズ新しい応用の数学 |publisher=教育出版|location=東京 |isbn=4316376306}}
* {{Cite book|和書|last=ハイラー|first=E.|first2=G. |last2=ワナー|translator=蟹江幸博|year=1997a|title=解析教程 |volume=上 |publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京|location=東京 |isbn=4431707506}}
* {{Cite book|和書|last=ハイラー|first=E.|first2=G. |last2=ワナー|translator=蟹江幸博|year=1997b|title=解析教程 |volume=下 |publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京|location=東京 |isbn=4431707514}}
* {{Cite book|和書|author=柴田正和|year=2009|title=漸近級数と特異摂動法: 微分方程式の体系的近似解法 |publisher=[[森北出版]]|location=東京 |isbn=9784627076310}}
* 柴田正和：「常微分方程式の局所漸近解析：特異点・臨界点が解の大域的性質を明らかにする」、森北出版、ISBN 978-4-627-07651-8 (2010年8月10日).
* 江沢洋：「漸近解析入門」、岩波書店、ISBN 978-4-00-006279-4
*[[伏見康治]]：「確率論及統計論」(第I章:数学的補助手段,3節：漸近展開）(1948年）；現代工学社から1977年に復刻版「確率論および統計論」、ISBN 978-4-87472012-7。https://web.archive.org/web/20160327114852/http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/2049-4 (2013年8月29日).

===洋書===
* Erdélyi, A.: ''Asymptotic expansions'', Dover Publications, ISBN 0-486-60318-0 (1956年).
* Bruijn N.G.: ''Asymptotic Methods in Analysis'', Dover Publications, ISBN 0-486-64221-6 (1958年). 
* Dingle, R. B. (1973). ''Asymptotic expansions: their derivation and interpretation''. London: [[:en:Academic Press]].
* Bleistein, Norman and Handelsman Richard A.: ''Asymptotic Expansions of Integrals'', Dover Publications, ISBN 0-486-65082-0 (1975年).
* Olver, F. (1997). ''Asymptotics and special functions''. AK Peters/CRC Press.
* Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). ''Complex variables: introduction and applications''. [[:en:Cambridge University Press]].
* Carrier, G. F., Krook, M., & Pearson, C. E. (2005). ''Functions of a complex variable: Theory and technique''. [[:en:Society for Industrial and Applied Mathematics]].
* Bender, C. M., & Orszag, S. A. (2013). ''Advanced mathematical methods for scientists and engineers I: Asymptotic methods and perturbation theory''. [[:en:Springer Science & Business Media]].
* Paris, R.B.: ''Hadamard Expansions and Hyperasymptotic Evaluation: An Extension of the Method of Steepest Descents'', Cambridge University Press(Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 141), ISBN 978-1-107-00258-6 (2011年).
{{Refend}}

== 関連項目 ==
*[[級数]]
*[[テイラー展開]]
*[[微分方程式]]
*[[メリン変換]]
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:せんきんてんかい}}
[[Category:解析学]]
[[Category:複素解析]]
[[Category:数学に関する記事]]