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'''無条件収束'''（むじょうけんしゅうそく，{{lang-en-short|unconditional convergence}}）は代数的な対象（和）に関連した位相的性質（収束性）である。それは可算個の元の級数に対する収束の概念の任意に多くの級数への拡張である。大部分は[[バナッハ空間]]において研究されている。

== 定義 ==
{{mvar|X}} を[[線型位相空間]]とする．{{mvar|I}} を[[添え字集合]]とし，すべての {{math|''i'' &isin; ''I''}} に対して {{math|''x{{sub|i}}'' &isin; ''X''}} とする．

級数 <math>\sum_{i \in I} x_i</math> が {{math|''x'' &isin; ''X''}} に'''無条件収束'''するとは，
* 添え字の集合 <math>I_0 :=\{i\in I: x_i\ne 0\}</math> が[[可算]]であり，
* <math>I_0=\{i_k\}_{k=1}^\infty</math> 上の任意の[[置換 (数学)|置換]] <math>\sigma:I_0\to I_0</math>に対して <math>\sum_{k=1}^\infty x_{\sigma(i_k)} = x</math> が成り立つ。

ことをいう。

==別の定義==
無条件収束はしばしば同値な方法で定義される：級数が無条件収束するとは，任意の列 <math>(\varepsilon_n)_{n=1}^\infty</math> で <math>\varepsilon_n\in\{-1, +1\}</math> なるものに対し，級数
:<math>\sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n x_n</math>
が収束することをいう．

任意の[[絶対収束]]級数は無条件収束するが，[[逆]]は一般には成り立たない：{{mvar|X}} が無限次元のバナッハ空間のとき，[[絶対収束#無条件収束との関係|Dvoretzky&ndash;Rogersの定理]]の定理により，この空間には無条件収束するが絶対収束しない級数が必ず存在する．しかしながら，{{math|1=''X'' = '''R'''<sup>''n''</sup>}} のときは，{{仮リンク|リーマンの級数定理|en|Riemann series theorem}}によって，級数 <math>\sum x_n</math> が無条件収束することと絶対収束することは同値である．

==関連項目==
*{{仮リンク|Modes of convergence (annotated index)|en|Modes of convergence (annotated index)}}
*{{仮リンク|リーマンの級数定理|en|Riemann series theorem}}
*[[絶対収束#無条件収束との関係|Dvoretzky&ndash;Rogersの定理]]

==参考文献==
* Ch. Heil: [http://www.math.gatech.edu/~heil/papers/bases.pdf A Basis Theory Primer]
* {{cite book
| last = Knopp
| first = Konrad
| title = Infinite Sequences and Series
| isbn = 9780486601533
| publisher = Dover Publications
| year = 1956
| language = }}
* {{cite book
| last = Knopp
| first = Konrad
| title = Theory and Application of Infinite Series
| publisher = Dover Publications
| year = 1990
| isbn = 9780486661650
| language = }}
*{{cite book
| last=Wojtaszczyk
| first=P.
| title=Banach spaces for analysts
| year=1996
| publisher=Cambridge University Press
| isbn=9780521566759}}

{{PlanetMath attribution|id=7358|title=Unconditional convergence}}

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