無条件収束

無条件収束（むじょうけんしゅうそく，テンプレート:Lang-en-short）は代数的な対象（和）に関連した位相的性質（収束性）である。それは可算個の元の級数に対する収束の概念の任意に多くの級数への拡張である。大部分はバナッハ空間において研究されている。

定義

テンプレート:Mvar を線型位相空間とする．テンプレート:Mvar を添え字集合とし，すべての テンプレート:Math に対して テンプレート:Math とする．

級数 $\sum _{i\in I}{x}_i$ が テンプレート:Math に無条件収束するとは，

• 添え字の集合 $I_0:=\{i\in I:x_i\ne 0\}$ が可算であり，
• $I_0=\{i_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ 上の任意の置換 $\sigma :I_0\to I_0$に対して $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\sigma (i_k)}=x$ が成り立つ。

ことをいう。

別の定義

無条件収束はしばしば同値な方法で定義される：級数が無条件収束するとは，任意の列 $({\epsilon }_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ で ${\epsilon }_n\in \{-1,+1\}$ なるものに対し，級数

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }_n{x}_n$

が収束することをいう．

任意の絶対収束級数は無条件収束するが，逆は一般には成り立たない：テンプレート:Mvar が無限次元のバナッハ空間のとき，Dvoretzky–Rogersの定理の定理により，この空間には無条件収束するが絶対収束しない級数が必ず存在する．しかしながら，テンプレート:Math のときは，テンプレート:仮リンクによって，級数 $\sum x_n$ が無条件収束することと絶対収束することは同値である．

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• Dvoretzky–Rogersの定理

参考文献

• Ch. Heil: A Basis Theory Primer
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
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