無理回転のソースを表示

[[力学系]]の[[数学]]理論において、'''無理回転'''（むりかいてん、{{Lang-en-short|irrational rotation}}）とは、次の[[写像]]のことを言う：

: <math>T_\theta : [0,1] \rightarrow [0,1],\quad T_\theta(x) \triangleq x + \theta \mod 1. </math>

但し ''&theta;'' は[[無理数]]である。[[円 (数学)|円]]を '''R'''/'''Z'''、あるいは境界が貼り合わされる区間 [0, 1] と見なすと、この写像は全回転に対する割合 ''&theta;''（すなわち、2''&pi;&theta;'' [[ラジアン]]のある角）による円の[[回転 (数学)|回転]]を表すことになる。''&theta;'' は無理数であるので、この回転は[[円周群]]において無限の[[位数 (群論)|位数]]を持ち、写像 ''T''<sub>''&theta;''</sub> は[[周期点|周期軌道]]を持たない。

上の代わりに、無理回転は乗法を用いて次の写像のように表すことも出来る：

: <math> T_\theta :S^1 \to S^1, \quad \quad \quad T_\theta(x)=xe^{2\pi i\theta} </math>

これら加法と乗法の記法の間にある関係は、群同型

:<math> \phi:([0,1],+) \to (S^1, \cdot) \quad \phi(x)=xe^{2\pi i\theta}</math>.

である。{{math|<var>&phi;</var>}} は[[等長写像|等長]]であることを示すことも出来る。

{{math|<var>&theta;</var>}} が有理数であるか無理数であるかに応じて、円周の回転には明確な区別が存在する。有理回転は、<math>\theta = \frac{a}{b}</math> および <math>\gcd(a,b) = 1</math> であれば <math>x \isin [0,1]</math> に対して <math>T_\theta^b(x) = x</math> になるという事実より、力学系において無理回転ほどの興味を引くものではない。<math>1 \le i < b</math> であれば <math>T_\theta^i(x) \ne x</math> を示すことも出来る。

== 意義 ==

無理回転は、[[力学系]]の理論において基礎となる例を与える。{{仮リンク|回転数に関するダンジョワの定理|label=ダンジョワの定理|en|Denjoy's theorem on rotation number}}に従うと、回転数 {{math|<var>&theta;</var>}} が無理数であるような円板の向き付け保存 {{math|<var>C</var><sup>2</sup>}}-微分同相写像はすべて、{{math|<var>T</var><sub><var>&theta;</var></sub>}} と[[位相共役性|位相共役]]である。無理回転は[[測度保存力学系|測度保存]][[エルゴード理論|エルゴード変換]]であるが、{{仮リンク|混合 (物理学)|label=混合的|en|mixing (physics)}}ではない。角度が {{math|<var>&theta;</var>}} である[[トーラス]]上の{{仮リンク|葉層|label=クロネッカー葉層|en|foliation}}と関連する力学系に対する[[ポアンカレ写像]]は、{{math|<var>&theta;</var>}} による無理回転である。無理回転に関連する[[C*-環]]は、{{仮リンク|非可換トーラス|label=無理回転環|en|noncommutative torus}}として知られ、幅広く研究されている。

== 性質 ==

* {{math|<var>&theta;</var>}} が無理数であるなら、回転 {{math|<var>T</var><sub><var>&theta;</var></sub>}} の下での {{math|[0,1]}} の元の軌道は {{math|[0,1]}} において稠密である。したがって、無理回転は{{仮リンク|混合 (数学)|label=位相的に推移可能|en|mixing (mathematics)}}である。
* {{math|<var>&theta;</var>}} が無理数であるなら、{{math|<var>T</var><sub><var>&theta;</var></sub>}} は一意的にエルゴード的である。
* 無理回転および有理回転は、位相的に混合ではない。
* 無理回転はルベーグ測度に関してエルゴード的である。
* 無理回転は、唯一つの不変な確率測度であるルベーグ測度を伴い、一意的にエルゴード的である。
* {{math|[<var>a</var>,<var>b</var>]&nbsp;&sub;&nbsp;[0,1]}} を仮定する。{{math|<var>T</var><sub><var>&theta;</var></sub>}} はエルゴード的であるため、次が成り立つ。<br /><math> \text{lim} _ {N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \chi_{[a,b)}(T_\theta ^n (t))=b-a </math>.

== 一般化 ==
* 円周回転は群の並進（group translation）の例である。
* {{math|<var>S</var><sup>1</sup>}} からそれ自身への一般の向き付け保存同型写像 {{math|<var>f</var>}} に対し、位相同型写像 <math> F:\mathbb{R}\to \mathbb{R} </math> は <math> \pi \circ F=f \circ \pi </math> を満たすなら、{{math|<var>f</var>}} のリフトと呼ばれる。但し <math> \pi (t)=t \text{mod}\,1 </math> である<ref name=Fisher/>。

== 応用 ==
* 円周の回転に関する歪積（Skew product）について：1969年にウィリアム・ヴィーチ（William Veech）は、極小であるが一意にエルゴード的ではない力学系の例を次の様に構成した<ref name=Veech/>：「単位円周の二つのコピーを用意し、それぞれ終点が　0 となるような長さ {{math|2<var>&pi;&alpha;</var>}} の区分 {{math|<var>J</var>}} を反時計回りに取る。{{math|<var>&theta;</var>}} を無理数とし、次の力学系を考える。第一の円周のある点 {{math|<var>p</var>}} を始点とする。軌道が {{math|<var>J</var>}} に到達するまで、{{math|2<var>&pi;&theta;</var>}} によって反時計回りに回転する。その後、第二の円周の対応する点に移動し、{{math|<var>J</var>}} に到着するまで {{math|2<var>&pi;&theta;</var>}} によって回転する。再び第一の円の対応する点に戻り、以下この手順を繰り返す。ヴィーチは、{{math|<var>&theta;</var>}} が無理数であるなら、システムは極小であるが[[ルベーグ測度]]が一意にエルゴード的でないような無理数 {{math|<var>&alpha;</var>}} が存在することを示した」<ref name=Masur/>。

== 関連項目 ==

* {{仮リンク|ニ進変換|label=ベルヌーイ写像|en|Dyadic transformation}}
* [[合同式|モジュラ計算]]
* [[ジーゲル円板]]
* {{仮リンク|テプリッツ環|en|Toeplitz algebra}}
* [[アーノルドの舌|位相同期]]（円周写像）

== 参考文献 ==
{{reflist|refs=
<ref name=Fisher>
{{ cite web
  |last=Fisher|first=Todd
  |year=2007
  |title=Circle Homomorphisms
  |url=https://math.byu.edu/~tfisher/documents/classes/2008/winter/635/Lecture2.pdf
|accessdate=2015年2月6日
}}
</ref>
<ref name=Veech>
{{cite journal
  |last=Veech|first=William
  |title=A Kronecker-Weyl Theorem Modulo 2
  |journal=Proceedings of the National Academy of Science (USA)
  |pmc=224897
  |date=August 1968
  |volume=60|number=4
  |pages=1163–1164
}}
</ref>
<ref name=Masur>
{{cite book
  |last1=Masur|first1=Howard
  |first2=Serge|last2=Tabachnikov
  |chapter=Rational Billiards and Flat Structures 
  |url=http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~lanneau/references/masur_tabachnikov_chap13.pdf
  |title=Handbook of Dynamical Systems
  |volume=IA
  |editor1-first=B.|editor1-last=Hasselblatt
  |editor2-first=A.|editor2-last=Katok 
  |publisher=Elsevier
  |year=2002
}}
</ref>
}}

== 発展的な文献 ==
* C. E. Silva, ''Invitation to ergodic theory'', Student Mathematical Library, vol 42, [[American Mathematical Society]], 2008 ISBN 978-0-8218-4420-5

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