無理回転

力学系の数学理論において、無理回転（むりかいてん、テンプレート:Lang-en-short）とは、次の写像のことを言う：

$T_{\theta }:[0,1]\to [0,1],T_{\theta }(x)\triangleq x+\theta mod1.$

但し θ は無理数である。円を R/Z、あるいは境界が貼り合わされる区間 [0, 1] と見なすと、この写像は全回転に対する割合 θ（すなわち、2πθ ラジアンのある角）による円の回転を表すことになる。θ は無理数であるので、この回転は円周群において無限の位数を持ち、写像 T_θ は周期軌道を持たない。

上の代わりに、無理回転は乗法を用いて次の写像のように表すことも出来る：

$T_{\theta }:S^1\to S^1,T_{\theta }(x)=x{e}^{2\pi i\theta }$

これら加法と乗法の記法の間にある関係は、群同型

$\varphi :([0,1],+)\to (S^1,\cdot )\varphi (x)=x{e}^{2\pi i\theta }$.

である。テンプレート:Math は等長であることを示すことも出来る。

テンプレート:Math が有理数であるか無理数であるかに応じて、円周の回転には明確な区別が存在する。有理回転は、$\theta =\frac{a}{b}$ および $\gcd (a,b)=1$ であれば $x\in [0,1]$ に対して $T_{\theta }^b(x)=x$ になるという事実より、力学系において無理回転ほどの興味を引くものではない。$1\le i<b$ であれば $T_{\theta }^i(x)\ne x$ を示すことも出来る。

意義

無理回転は、力学系の理論において基礎となる例を与える。テンプレート:仮リンクに従うと、回転数 テンプレート:Math が無理数であるような円板の向き付け保存 テンプレート:Math-微分同相写像はすべて、テンプレート:Math と位相共役である。無理回転は測度保存エルゴード変換であるが、テンプレート:仮リンクではない。角度が テンプレート:Math であるトーラス上のテンプレート:仮リンクと関連する力学系に対するポアンカレ写像は、テンプレート:Math による無理回転である。無理回転に関連するC*-環は、テンプレート:仮リンクとして知られ、幅広く研究されている。

性質

• テンプレート:Math が無理数であるなら、回転 テンプレート:Math の下での テンプレート:Math の元の軌道は テンプレート:Math において稠密である。したがって、無理回転はテンプレート:仮リンクである。
• テンプレート:Math が無理数であるなら、テンプレート:Math は一意的にエルゴード的である。
• 無理回転および有理回転は、位相的に混合ではない。
• 無理回転はルベーグ測度に関してエルゴード的である。
• 無理回転は、唯一つの不変な確率測度であるルベーグ測度を伴い、一意的にエルゴード的である。
• テンプレート:Math を仮定する。テンプレート:Math はエルゴード的であるため、次が成り立つ。
  ${\text{lim}}_{N\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{\chi }_{[a,b)}(T_{\theta }^n(t))=b-a$.

一般化

• 円周回転は群の並進（group translation）の例である。
• テンプレート:Math からそれ自身への一般の向き付け保存同型写像 テンプレート:Math に対し、位相同型写像 $F:ℝ\to ℝ$ は $\pi \circ F=f\circ \pi$ を満たすなら、テンプレート:Math のリフトと呼ばれる。但し $\pi (t)=t\text{mod}1$ である。

応用

• 円周の回転に関する歪積（Skew product）について：1969年にウィリアム・ヴィーチ（William Veech）は、極小であるが一意にエルゴード的ではない力学系の例を次の様に構成した：「単位円周の二つのコピーを用意し、それぞれ終点が　0 となるような長さ テンプレート:Math の区分 テンプレート:Math を反時計回りに取る。テンプレート:Math を無理数とし、次の力学系を考える。第一の円周のある点 テンプレート:Math を始点とする。軌道が テンプレート:Math に到達するまで、テンプレート:Math によって反時計回りに回転する。その後、第二の円周の対応する点に移動し、テンプレート:Math に到着するまで テンプレート:Math によって回転する。再び第一の円の対応する点に戻り、以下この手順を繰り返す。ヴィーチは、テンプレート:Math が無理数であるなら、システムは極小であるがルベーグ測度が一意にエルゴード的でないような無理数 テンプレート:Math が存在することを示した」。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• モジュラ計算
• ジーゲル円板
• テンプレート:仮リンク
• 位相同期（円周写像）

発展的な文献

• C. E. Silva, Invitation to ergodic theory, Student Mathematical Library, vol 42, American Mathematical Society, 2008 ISBN 978-0-8218-4420-5