無限算術級数のソースを表示

{{参照方法|date=2017年7月}}
[[数学]]における'''無限算術級数'''（むげんさんじゅつきゅうすう、{{lang-en-short|''infinite arithmetic series''}}）は、その項が[[算術数列]]を成す[[無限級数]]を言う。{{math|[[1+1+1+1+…|1 + 1 + 1 + 1 + · · ·]]}} や {{math|[[1+2+3+4+…|1 + 2 + 3 + 4 + · · ·]]}} はその例であるが、無限算術級数の一般形は <math display="block">\sum_{n=0}^\infty(an+b)</math> と書ける。{{math|1=''a'' = ''b'' = [[0]]}} のときは級数の和も {{math|0}} であるが、{{mvar|a, b}} のどちらかが非零ならば、級数は[[発散級数|発散]]して通常の意味では和を持たない。

== ゼータ正則化 ==
正しい形 (the right form) での算術級数の[[ゼータ正則化]]和は、対応する[[フルヴィッツゼータ函数]]の値として <math display="block">\sum_{n=0}^\infty(n+\beta) = \zeta_\text{H} (-1; \beta)</math> で与えられる{{efn|一般形は <math display="inline">\sum_{n=0}^\infty(an+b) = a\sum_{n=0}^\infty(n+(b/a)) = a\zeta_\text{H} (-1; b/a)</math> と見なすと処理できる。}}。ゼータ正則化和 {{math|1 + 1 + 1 + 1 + ⋯}} は {{math|1=''ζ''<sub>R</sub>(0) = −{{sfrac|1|2}}}} に、また {{math|1 + 2 + 3 + 4 + ⋯}} は {{math|1=''ζ''<sub>R</sub>(−1) = −{{sfrac|1|12}}}} に（ゼータとしては[[リーマンゼータ函数]] {{math|''ζ''{{sub|R}}}} をとって）割り当てられるけれども、上記の和が <math display="inline">-\frac{1}{12} - \frac{\beta}{2}</math> に等しいとは一般にはならない。

== 注釈 ==
{{notelist}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}
*{{cite journal |last1=Brevik |first1=I. |first2=H. B. |last2=Nielsen |title=Casimir energy for a piecewise uniform string |journal=Physical Review D |volume=41 |issue=4 |date=February 1990 |pages=1185–1192 |doi=10.1103/PhysRevD.41.1185}}
*{{cite journal |last=Elizalde |first=E. |title=Zeta-function regularization is uniquely defined and well |journal=Journal of Physics A: Mathematical and General |volume=27 |issue=9 |date=May 1994 |pages=L299–L304 |doi=10.1088/0305-4470/27/9/010}} ([https://arxiv.org/abs/hep-th/9308028 arXiv preprint])
*{{cite journal |last1=Li |first1=Xinzhou |first2=Xin |last2=Shi |first3=Jianzu |last3=Zhang |title=Generalized Riemann ''ζ''-function regularization and Casimir energy for a piecewise uniform string |journal=Physical Review D |volume=44 |issue=2 |date=July 1991 |pages=560–562 |doi=10.1103/PhysRevD.44.560}}

== 関連項目 ==
*[[1-2+3-4+…|1 − 2 + 3 − 4 + ⋯]]

{{Series (mathematics)}}
{{DEFAULTSORT:むけんさんしゆつきゆうすう}}
[[Category:算術級数]]
[[Category:数学に関する記事]]

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