物質微分のソースを表示

{{連続体力学}}
'''物質微分'''（ぶっしつびぶん、{{lang-en-short|material derivative}}）とは流れに乗って移動する[[流体粒子]]の物理量 ([[温度]]や[[運動量]])の時間[[変化率]]のことで、[[連続体力学]]の概念の一つである。固定された場所での物理量の時間変化でなく、流れに乗って動く仮想的な「観測者」が観た物理量の時間変化を記述する。

物質微分は[[連続体力学#連続体の記述方法|ラグランジュ描像]]に基づく時間変化を[[連続体力学#連続体の記述方法|オイラー描像]]に基づく時間変化で記述したものである。物体固有の時間変化を記述するものなので物質微分 <math>\mathrm{D}/\mathrm{D}t</math> は偏微分 <math>\partial / \partial t</math> と違い{{仮リンク|ガリレイ不変|en|Galilean invariance}}である<ref name ="吉澤流体">吉澤徴『流体力学』東京大学出版、2001年9月6日初版発行、ISBN 4130626035</ref>。

名称としては他に、物質時間微分<ref name ="連続体力学">田村武『連続体力学入門』朝倉書店、2000年2月20日初版１刷発行、ISBN 4254201028</ref>、流れに乗って移動するときの微分<ref name ="日野流体">日野幹雄『流体力学』朝倉書店、1992年12月10日初版１刷発行、ISBN 4254200668</ref>、実質微分<ref name ="ハンドブック">中村育雄『流体解析ハンドブック』共立出版、1998年3月20日初版１刷発行、ISBN 4320081188</ref>、ラグランジュ微分<ref name ="巽流体">巽友正　『新物理学シリーズ21 流体力学』　培風館、1982年 4月15日初版発行、ISBN 4-563-02421-X</ref>などとも呼ばれる。

== 定義 ==
速度場 <math>\boldsymbol{v}</math> の流れにおける、[[スカラー場]] <math>\varphi(\boldsymbol{x},t)</math> および[[ベクトル場]] <math>\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)</math> の物質微分は以下のように表される。
:<math>\frac{\mathrm{D}\varphi}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \boldsymbol{v}\cdot\nabla \varphi</math>
:<math>\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{A}}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} + \boldsymbol{v}\cdot\nabla \boldsymbol{A}</math>

ここで、それぞれの式の右辺第2項を[[移流]]項、対流項と呼び、非一様な物理量の分布の中を移動したことで観測される物理量の変化率を表す。

== 直観的意味 ==

スカラー場<math>\varphi(\boldsymbol{x},t)</math>の物質微分は直観的には流れに乗って動く物体から見た場合における<math>\varphi(\boldsymbol{x},t)</math>の変化率を表す。（ベクトル場の場合も同様）。
実際、位置のグラフ<math>\boldsymbol{u}(t)</math>で記述される[[質点]]の軌道は速度場 <math>\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t)</math> にそっているので、

:<math>\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{u}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{v}(\boldsymbol{u},t)</math> 

となるから(なお、この性質を満たす<math>\boldsymbol{u}(t)</math>を[[流跡線]]という)、[[ライプニッツ則]]から

:<math>
\frac{\mathrm{d}\varphi(\boldsymbol{u},t)}{\mathrm{d}t} 
= 
(\nabla\varphi)\cdot\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{u}}{\mathrm{d}t}
  + \frac{\mathrm{\partial}\varphi}{\mathrm{\partial}t}
= 
\boldsymbol{v}\cdot\nabla\varphi
  + \frac{\mathrm{\partial}\varphi}{\mathrm{\partial}t}
= \frac{\mathrm{D}\varphi}{\mathrm{D}t}
</math>

が成立する。
上では一粒子しかない場合を想定したが、初期時刻における位置<math>\boldsymbol{X}</math>でパラメトライズされた粒子の族<math>\boldsymbol{u}(\boldsymbol{X},t)</math>を考えた場合も、<math>\boldsymbol{X}</math>を固定して同様の証明を行う事で、同様の式が導ける。更に粒子の族を[[連続体力学|連続体]]にまで拡張したものが物質微分である。

以上の説明から分かるように、物質微分<math>\frac{\mathrm{D}\varphi}{\mathrm{D}t}</math>は物質に固定して観測する座標系（[[連続体力学#連続体の記述方法|物質表示]]）における時間微分を表すが、それに対し通常の偏微分<math>\frac{\partial\varphi}{\partial t}</math>は空間上に固定された座標系（[[連続体力学#連続体の記述方法|空間表示]]）における時間微分であるといえる。

==定常流==
[[定常流]]はすべての物理量のオイラー描像的時間変化率が <math>{\partial / \partial t}=0</math> となる流れであるが、ラグランジュ描像的時間変化率が <math>{\mathrm{D}/\mathrm{D}t} = 0</math> となるとは限らないことに注意すべきである。

一つの[[流線]]に着目する。流線上のある点からの道のりを <math>s</math> 、流線の単位接ベクトルを  <math>\boldsymbol{e}_s</math> と表す。速度ベクトルは流線に接しているので、定常流における物質微分は
:<math>\begin{align}
{\mathrm{D}\over \mathrm{D}t} 
&= {\partial  \over \partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \nabla\\
&= 0 +                          (v\boldsymbol{e}_s)\cdot \nabla\\
&= v {\partial  \over \partial s} & (\because~ \boldsymbol{e}_s \cdot \nabla = {\partial  \over \partial s})
\end{align}</math>
となり、流線方向の変化率に速さをかけたものに等しいことが導かれる。

これから、定常流( <math>{\partial / \partial t}=0</math> )でも、流線に沿って物理量が変化するなら<math>{\mathrm{D}/\mathrm{D}t} \ne 0</math> であることがわかる。

=== 定常流における加速度 ===
応用で重要なのは速度の物質微分すなわち加速度である。定常流、つまり、速度の時間変化がない流れでも、流体粒子の加速度は0とは限らない。定常流でも、流線に沿って速度の大きさは変化しうるし、流線に沿って速度の方向が変わる（流線が曲がる）こともありうる。これを式に表すと、
:<math>
{\mathrm{D} \boldsymbol{v}\over \mathrm{D}t} 
= {\partial   \over \partial s}\left({v^2 \over 2}\right) \boldsymbol{e}_s -  {v^2 \over R} \boldsymbol{e}_r
</math>
ただし、 <math>s</math> は流線上のある点からの道のり、<math>r</math> は瞬間的な[[曲率中心]]からの距離、<math>R</math> は流線の[[曲率半径]]、<math>\boldsymbol{e}_s</math> は接線方向の単位ベクトル、<math>\boldsymbol{e}_r</math> は半径方向の単位ベクトルを表す。

:{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!導出
|-
|
:<math>\begin{align}
{\mathrm{D}\boldsymbol{v}\over \mathrm{D}t} 
&= \boldsymbol{v} \cdot \nabla  \boldsymbol{v}\\
&= v {\partial (v\boldsymbol{e}_s)  \over \partial s}\\
&= v {\partial v  \over \partial s} \boldsymbol{e}_s +  v^2 {\partial \boldsymbol{e}_s  \over \partial s}\\
&= {\partial   \over \partial s}\left({v^2 \over 2}\right) \boldsymbol{e}_s -  {v^2 \over R} \boldsymbol{e}_r
\end{align}</math>
ただし、 曲線の[[曲率]]についての関係式
:<math> {\partial \boldsymbol{e}_s  \over \partial s} = -{1 \over R} \boldsymbol{e}_r </math>
を使った。
|}

加速度の流線方向の成分は流線にそった速さの変化率に対応し、加速度の法線方向の成分は流線が曲がることによる向心加速度に対応する。

=== ベルヌーイの定理と流線曲率の定理 ===
外力のない[[非粘性]]の[[バロトロピック流体]]の定常な流れを考える。非粘性流体の流れを記述する[[オイラー方程式 (流体力学)|オイラー方程式]]
:<math>
{\mathrm{D}\boldsymbol{v}\over \mathrm{D}t} 
= -  {1\over \rho} \nabla p + \boldsymbol{f}
</math>
は定常、外力がない、バロトロピックという条件では
:<math>
{\partial \over \partial s}\left({v^2 \over 2}\right) \boldsymbol{e}_s -  {v^2 \over R} \boldsymbol{e}_r
 = - \nabla \int {\mathrm{d}p \over \rho}
</math>
と変形できる。

方程式の両辺にそれぞれ <math>\boldsymbol{e}_s,\,  \boldsymbol{e}_r</math> を内積でかけることで、流線方向(接線)成分、半径方向（主法線）成分は、
:<math>\begin{align}
{\partial \over \partial s}\left({v^2 \over 2}\right) 
&= -{\partial \over \partial s}\int {\mathrm{d}p \over \rho}
\qquad\quad \therefore~ 
{\partial \over \partial s}\left({v^2 \over 2} + \int {\mathrm{d}p \over \rho}\right) = 0 \\

-  {v^2 \over R} 
&= -\left.{\partial   \over \partial r} \int {\mathrm{d}p \over \rho}\right|_{r=R}
\quad  \therefore~ 
{\partial p  \over \partial r}  = \rho{v^2 \over r}
\quad  \left( 
\mathrm{or~}
{\partial   \over \partial r} \int {\mathrm{d}p \over \rho}
= {v^2 \over r}
\right) 
\end{align}</math>
と表せる。ただし、[[方向微分]]の性質：
:<math>
\boldsymbol{e}_s \cdot \nabla = {\partial  \over \partial s},\,
\boldsymbol{e}_r \cdot \nabla = {\partial  \over \partial r}
</math>
を使った。

第1式が[[ベルヌーイの定理]]、第2式が[[流線曲率の定理]]に対応する。

== 対流項 ==
移流項における <math>\nabla \varphi</math> は スカラー量の[[勾配]]であるが、対流項における <math>\nabla \boldsymbol{A}</math> はベクトル量の[[クリストッフェル記号#概要|共変微分]]である。ベクトル量の対流項 <math>\boldsymbol{v}\cdot\nabla \boldsymbol{A}</math> を  <math>(\boldsymbol{v}\cdot\operatorname{grad}) \boldsymbol{A}</math> と記述することがあるが、この表示は[[デカルト座標系]]でしか等価でないことに注意すべきである<ref name ="巽流体"/>（スカラー量の対流項 <math>\boldsymbol{v}\cdot\nabla \varphi</math> については <math>(\boldsymbol{v}\cdot\operatorname{grad}) \varphi</math> と等価である）。

共変微分を使わずに一般の座標系で成り立つ表現としては<ref name ="巽流体"/>
:<math>\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{A}}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} 
+ \frac{1}{2}\left\{
\operatorname{grad}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A})
+\operatorname{rot}\boldsymbol{v} \times\boldsymbol{A}
+\operatorname{rot}\boldsymbol{A} \times\boldsymbol{v}
-\operatorname{rot}(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{A})
+\boldsymbol{v}\,\operatorname{div}\boldsymbol{A}
-\boldsymbol{A}\,\operatorname{div}\boldsymbol{v}
\right\}
</math> 
がある。特に[[加速度]]の回転形表示
:<math>\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{v}}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} 
+ \operatorname{grad}\left(\frac{|\boldsymbol{v}|^2}{2}\right)
-\boldsymbol{v} \times \operatorname{rot}\boldsymbol{v}
</math> 
は重要である。
:{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!エディントンのイプシロンを用いた導出
|-
|
[[エディントンのイプシロン]]の性質
:<math>\begin{align}
(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_i &= \sum_{jk} \varepsilon_{ijk} a_j b_k\\
\sum_{k} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{k\ell m} &= \delta_{i \ell}\delta_{j m} - \delta_{i m}\delta_{j \ell}
\end{align}</math>
を使えば、
:<math>\begin{align}
(\boldsymbol{v} \times \operatorname{rot}\,\boldsymbol{v})_i 
&= \sum_{jk} \varepsilon_{ijk} v_j (\operatorname{rot}\,\boldsymbol{v})_k\\
&= \sum_{jk} \varepsilon_{ijk} v_j \sum_{\ell m} \varepsilon_{k\ell m} {\partial \over \partial x_\ell} v_m\\
&= \sum_{j\ell m} (\delta_{i \ell}\delta_{j m} - \delta_{i m}\delta_{j \ell}) v_j  {\partial \over \partial x_\ell} v_m\\
&= \sum_{m} \left(
v_m  {\partial \over \partial x_i} v_m
-
v_m  {\partial \over \partial x_m} v_i
\right)\\
&= \left(\operatorname{grad}\left(\frac{|\boldsymbol{v}|^2}{2}\right) - \boldsymbol{v}\cdot\nabla \boldsymbol{v}\right)_i
\end{align}</math> 
より、
:<math>\begin{align}
\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{v}}{\mathrm{D}t} 
&= \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + \boldsymbol{v}\cdot\nabla \boldsymbol{v}\\
&= \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + \operatorname{grad}\left(\frac{|\boldsymbol{v}|^2}{2}\right) - \boldsymbol{v} \times \operatorname{rot}\boldsymbol{v} 
\end{align}</math> 
が得られる。
|}

=== 曲線直交座標系 ===
曲線直交座標系 <math>\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(q^1, q^2, q^3)</math> における対流項 <math>\boldsymbol{v}\cdot\nabla\boldsymbol{A}</math> の <math>j</math> 成分は以下のように与えられる<ref name ="mathworld">Eric W. Weisstein "Convective Operator" [[MathWorld]] http://mathworld.wolfram.com/ConvectiveOperator.html</ref>。

:<math>
[\boldsymbol{v}\cdot\nabla \boldsymbol{A}]_j = 
\sum_k \left\{
\frac{v_k}{h_k} \frac{\partial A_j}{\partial q^k} + \frac{A_k}{h_k h_j}\left(v_j \frac{\partial h_j}{\partial q^k} - v_k \frac{\partial h_k}{\partial q^j}\right)
\right\}
</math>
ただし、
:<math> 
h_k = \left|
{\partial \boldsymbol{r} \over \partial q^k}
\right| = \sqrt{g_{kk}}
</math> 
（<math>g_{ij}</math> は[[計量テンソル]]）である。

先で述べたように
:<math>
[(\boldsymbol{v}\cdot\operatorname{grad}) \boldsymbol{A}]_j 
= \sum_k v_k \left( \frac{1}{h_k} \frac{\partial }{\partial q^k} \right)A_j
</math>
とはデカルト座標系 <math>(h_1=h_2=h_3=1)</math> においてのみ等しい。

<math>\boldsymbol{A}=\boldsymbol{v}</math> とした時の物質微分(＝加速度)の対流項に現れる第2項
:<math>
\sum_k \left\{
\frac{v_k}{h_k h_j}
\left(v_j \frac{\partial h_j}{\partial q^k} - v_k \frac{\partial h_k}{\partial q^j}\right)
\right\}
</math>
は曲線直交座標系で現れる[[見かけの力]]に対応する。

実際、 <math>L=\frac{m}{2}\sum_k (h_k \dot q^k)^2</math> に対して <math>({\mathrm{d}/\mathrm{d}t})({\partial L/\partial \dot q^j})-({\partial L/\partial q^j})=0</math> を計算すると、 
:<math>{\mathrm{d}v_j \over \mathrm{d}t}
-\sum_k \left\{
\frac{v_k}{h_k h_j}
\left(v_j {\partial h_j \over \partial q^k} - v_k {\partial h_k \over \partial q^j}\right)
\right\}
=0</math> 
が得られる。ただし、<math>v_k = h_k \dot q^k</math> であり、 <math>\dot h_k = \sum_{i}{\partial h_k \over \partial q^i}\dot q^i</math> を使う。

==相対論的物質微分==
時間<math>t</math>の代わりに固有時間<math>\tau</math>による物質微分を構成することもできる．具体的に，次式で与えられる{{要出典|date=2016年5月}}．
:<math>
\frac{\mathrm{D} A^{\mu}(x)}{\mathrm{D} \tau} = v^{\nu} \nabla_{\nu} A^{\mu}.
</math> 
<math>v^{\nu}</math>は流体の四元速度，<math>A^{\mu}(x)</math>は四元時空を変数とするベクトルである．とくに，<math>A^{\mu}(x)</math>を速度とすると，測地線方程式となり，零になる．
:<math>
\begin{align}
\frac{\mathrm{D} v^{\mu}(x)}{\mathrm{D} \tau}
&= v^{\nu} \nabla_{\nu} v^{\mu}
= v^{\nu} \left( \partial_{\nu} v^{\mu} + \Gamma_{\nu\lambda}^{\mu} v^{\lambda} \right) \\
&= \frac{\partial x^{\nu}}{\partial \tau} \frac{\partial v^{\mu}}
{\partial x^{\nu}} +
 \Gamma_{\nu\lambda}^{\mu} v^{\lambda} v^{\nu}\\
&= \frac{\partial^2 x^{\mu}}{\partial \tau^2} +
\Gamma_{\nu\lambda}^{\mu} 
\frac{\partial x^{\lambda}}{\partial \tau}
\frac{\partial x^{\lambda}}{\partial \tau}
= 0. \\
\end{align}
</math>

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
<!--=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注"}}-->
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[ナビエ-ストークスの式]]
* [[オイラー方程式 (流体力学)]]
* [[連続の式]]

{{DEFAULTSORT:ふつしつひふん}}
[[Category:物質]]
[[Category:流体力学]]