特殊ユニタリ群のソースを表示

{{混同|<math>\mathfrak{su}(n)</math>|x1=[[リー代数]]の|link1=歪エルミート行列}}
{{Groups}}
{{Mvar|n}} 次の'''特殊ユニタリ群'''（とくしゅユニタリぐん、{{lang-en|special unitary group}}）{{Math|SU(''n'')}} とは、[[行列式]]が1の {{Mvar|n}} 次[[ユニタリ行列]]の為す[[群 (数学)|群]]の事である。群の[[二項演算|演算]]は[[行列#和・積|行列の積]]で与えられる。

特殊ユニタリ群 {{Math|SU(''n'')}} は[[ユニタリ群]] {{Math|U(''n'')}} の[[群_(数学)#部分群|部分群]]であり、さらに[[一般線型群]] {{Math|GL(''n'', '''C''')}}の部分群である。

特殊ユニタリ群は[[素粒子物理学]]において、[[電弱相互作用]]の[[ワインバーグ＝サラム理論]]や[[強い相互作用]]の[[量子色力学]]、あるいはそれらを統合した[[標準模型]]や[[大統一理論]]などに出てくる。

== 定義 ==
:<math>\mathrm{SU}(n) = \{ g \in U(n); \det g=1 \}</math>
ここで {{Math|U(''n'')}} は[[ユニタリ群]]、 {{Math|det}} は[[行列式]]である。

== 性質 ==
特殊ユニタリ群 {{Math|SU(''n'')}} は、以下のような性質を満たす。
* 次元 {{Math|''n''<sup>2</sup>&minus;1}} の[[単純リー群]]
* [[コンパクト空間|コンパクト]]で[[単連結]]
* [[行列の階数|ランク]] {{Math|''n''&minus;1}}
* {{Math|SU(''n'')}} の[[群 (数学)|中心]]は[[巡回群]] {{Math|'''Z'''<sub>''n''</sub>}} と同型
* [[外部自己同型群]]は {{Math|''n''≥3}} に対しては {{Math|'''Z'''<sub>2</sub>}}、{{Math|1=''n''=2}} に対しては[[自明な群]]

== 生成子 ==
{{Math|SU(''n'')}} の[[生成子]] {{Mvar|T}} は、[[跡 (線型代数学)|トレース]]が 0 の[[エルミート行列]]で[[表現 (数学)|表現]]される。

:<math>\mathrm{tr}\,T_a=0</math>
:<math>T_a^\dagger=T_a</math>

=== 基本表現 ===
基本表現、あるいは定義表現では、{{Mvar|n}} 次[[正方行列]]で表現される。

:<math>T_aT_b=\frac{1}{2n}\delta_{ab} I_n
 +\frac{1}{2}\sum_{c=1}^{n^2-1} (if_{abc}+d_{abc})T_c
</math>

ここで、 {{Mvar|f}} は[[構造定数 (数学)|構造定数]]で、全ての添え字に関して[[反対称テンソル|反対称]]であり、{{Mvar|d}} は全ての添え字に関して対称である。

従って、

:<math>\{T_a,T_b\} =T_aT_b+T_bT_a
 = \frac{1}{n} \delta_{ab} I_n+\sum_{c=1}^{n^2-1} d_{abc}T_c
</math>
:<math>[T_a,T_b] =T_aT_b-T_bT_a
 = i\sum_{c=1}^{n^2-1} f_{abc}T_c</math>

規格化条件として

:<math>\sum_{c,e=1}^{n^2-1}d_{ace}d_{bce}
 = \frac{n^2-4}{n}\delta_{ab}
</math>

をとる。

=== 随伴表現 ===
[[随伴表現]]では、{{Math|''n''<sup>2</sup>&minus;1}} 次正方行列で表現され、その成分は、

:<math>(T_a)_{ij}=-if_{aij} \,</math>

で与えられる。

== 例 ==
=== {{Math|SU(2)}} ===

{{Math|SU(2)}} の[[元 (数学)|元]]の一般形は

:<math>U =
\begin{bmatrix}
\alpha & -\bar{\beta} \\
\beta & \bar{\alpha} \\
\end{bmatrix}
</math>

となる。ここで、{{Math|''&alpha;'', ''&beta;'' &isin; '''C'''}} は {{Math|1={{Mabs|''&alpha;''}}<sup>2</sup> + {{Mabs|''&beta;''}}<sup>2</sup> = 1}} を満たす。

=== {{Math|SU(3)}} ===

<math>\mathfrak{su}(3)</math> の生成子 {{Mvar|T}} の基本表現は

:<math>T_a=\frac{1}{2}\lambda_a</math>

ここで、<math>\lambda</math> は[[ゲルマン行列]]である。

:<math>\lambda_1 =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\quad\lambda_2 =
\begin{bmatrix}
0 & -i & 0 \\
i & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\quad\lambda_3 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
</math>
:<math>\lambda_4 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\quad\lambda_5 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & -i \\
0 & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\quad\lambda_6 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
</math>
:<math>\lambda_7 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -i \\
0 & i & 0 \\
\end{bmatrix}
\quad\lambda_8 =
\frac{1}{\sqrt{3}}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -2 \\
\end{bmatrix}
</math>

交換関係は

:<math>[T_a,T_b]=i\sum_{c=1}^8 f_{abc}T_c</math>

となり、構造定数 {{Mvar|f}} は

:<math>f_{123} = 1 \,</math>
:<math>f_{147} = -f_{156} = f_{246} = f_{257} = f_{345} = -f_{367} = \frac{1}{2} \,</math>
:<math>f_{458} = f_{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,</math>

となる。{{Mvar|d}} は

:<math>d_{118} = d_{228} = d_{338} = -d_{888} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,</math>
:<math>d_{448} = d_{558} = d_{668} = d_{778} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \,</math>
:<math>d_{146} = d_{157} = -d_{247} = d_{256} = d_{344} = d_{355} = -d_{366} = -d_{377} = \frac{1}{2}. \,</math>

となる。

== 他の群との関係 ==
素粒子物理学では、[[対称性の破れ]]に関連して部分群が重要になる。
:<math>\mathrm{SU}(p+q) \supset \mathrm{SU}(p)\times \mathrm{SU}(q)\times \mathrm{U}(1)</math>
:<math>\mathrm{SU}(n) \supset \mathrm{O}(n)</math>
:<math>\mathrm{SU}(2n) \supset \mathrm{USp}(2n)</math>

:<math>\mathrm{SO}(2n) \supset \mathrm{SU}(n)</math>
:<math>\mathrm{USp}(2n) \supset \mathrm{SU}(n)</math>

:<math>\mathrm E_6 \supset \mathrm{SU}(6)</math>
:<math>\mathrm E_7 \supset \mathrm{SU}(8)</math>
:<math>\mathrm G_2 \supset \mathrm{SU}(3)</math>
{{Math|O(''n'')}}: [[直交群]]、{{Math|SO(''n'')}}: [[特殊直交群]]、{{Math|USp(2''n'')}}: [[シンプレクティック群]]、{{Math|E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub>, G<sub>2</sub>}}: 例外型リー群

また、[[スピン群]]と以下の同型がある
:<math>\mathrm{Spin}(6) = \mathrm{SU}(4)</math>
:<math>\mathrm{Spin}(4) = \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)</math>
:<math>\mathrm{Spin}(3) = \mathrm{SU}(2)=\mathrm{USp}(2)</math>

== 関連項目 ==
* [[リー群]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=SpecialUnitaryGroup|title=Special Unitary Group}}
* {{nlab|urlname=special+unitary+group|title=special unitary group}}

{{DEFAULTSORT:とくしゆゆにたりくん}}
[[Category:位相群]]
[[Category:数学に関する記事]]