特殊線型群のソースを表示

{{Expand English|Special linear group|date=2024年5月}}
{{Groups}}

[[数学]]において、 [[可換体|体]] {{mvar|F}} 上の次数 {{mvar|n}} の'''特殊線型群'''（とくしゅせんけいぐん、{{lang-en-short|special linear group}}）とは、 [[行列式]]が {{math|1}} である {{mvar|n}} 次[[正方行列]]のなす[[集合]]に、通常の[[行列の積]]と[[逆行列]]の演算が入った[[群 (数学)|群]]である。この群は、行列式
:<math>\det\colon \operatorname{GL}(n, F) \to F^\times</math>
の[[核 (代数学)|核]]として得られる、[[一般線型群]] {{math|GL(''n'', ''F'')}}の[[正規部分群]]である。
ここで{{mvar|F{{sup|&times;}}}} は {{mvar|F}} の[[乗法群]]（つまり、{{mvar|F}} から {{math|0}} を除いた集合）を表す。

特殊線型群の元は「特殊な」もの、つまりある多項式が定める一般線型群の部分[[代数多様体]]、である（行列式は多項式であることに注意）。

==幾何学的解釈==
特殊線型群 {{math|SL(''n'', '''R''')}} は、[[体積]]と[[向き]]を保つ {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} における[[線型変換]]のなす群として特徴付けられる。これは線型変換の行列式が、体積と向きの変化を測っていると解釈できることに対応している。

==リー部分群==
{{mvar|F}} が {{math|'''R'''}} ([[実数体]])、または {{math|'''C'''}} ([[複素数体]]) であるときには、{{math|SL(''n'', ''F'')}} は {{math|GL(''n'', ''F'')}}の {{math|(''n''{{sup|2}} &minus; 1)}} 次元の[[リー部分群]]である。{{math|SL(''n'', ''F'')}} の[[リー代数]] <math>\mathfrak{sl}(n, F)</math> は、[[トレース (線型代数学)|トレース]]が {{math|0}} である{{mvar|F}} 上の {{mvar|n}} 次正方行列からなる。[[リー括弧積]]は、[[交換子|交換子積]]によって与えられる。

==位相==
すべての正則行列は[[ユニタリ行列]]と[[固有値#正定値と半正定値|正定値]][[エルミート行列]]の積に一意的に[[極分解]]できる。
ユニタリ行列の行列式は[[単位円#ガウス平面上の単位円|単位円]]上に値をとり、正定値エルミート行列の行列式は正の実数なので、
特殊線型群に属している行列をこれらの積に分解したとき、それらの行列式は共に1である。
よって特殊線型群に属する行列は特殊ユニタリ行列と行列式が {{math|1}} の正定値エルミート行列の積で書ける。

よって群 {{math|SL(''n'', '''C''')}} の位相は[[特殊ユニタリ群]] {{math|SU(''n'')}} と行列式が {{math|1}} の正定値エルミート行列全体からなる群の積位相で与えられる。
行列式が {{math|1}} の[[行列の正定値性|正定値]]エルミート行列は[[跡 (線型代数学)|トレース]] {{math|0}} のエルミート行列の[[行列指数関数|指数関数行列]]として一意的に表せるので、その位相は {{math|(''n''{{sup|2}} &minus; 1)}} 次元のユークリッド空間と同じである。

また群 {{math|SL(''n'', '''R''')}} の位相は[[特殊直交群]] {{math|SO(''n'')}} と行列式が {{math|1}} の正定値対称行列全体からなる群の積位相で与えられる。
行列式が {{math|1}} の正定値対称行列はトレースが {{math|0}} の対称行列の指数行列として一意的に表せるので、その位相は{{math|(''n'' + 2)(''n'' &minus; 1)}} 次元のユークリッド空間と同じである。

群 {{math|SL(''n'', '''C''')}} は、特殊ユニタリ群 {{math|SU(''n'')}} のように、[[単連結]]である一方 {{math|SL(''n'', '''R''')}} は、特殊直交群 {{math|SO(''n'')}} のように、単連結ではない。
{{math|SL(''n'', '''R''')}} は{{math|GL{{sup|+}}(''n'', '''R''')}} あるいは {{math|SO(''n'')}} と同じ[[基本群]]を持つ。
つまり {{math|''n'' {{=}} 1, 2}} のときは{{math|'''Z'''}} で {{math|''n'' &gt; 2}} のときは {{math|'''Z'''{{sub|2}}}} である。

==関連項目==
* [[群 (数学)|群論]]
* [[一般線型群]]
* [[正規部分群]]
* [[リー群]]
* [[リー代数]]
* [[行列の定値性]]
* [[行列指数関数]]

{{Linear-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:とくしゆせんけいくん}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:群論]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[pl:Pełna grupa liniowa#Specjalna grupa liniowa]]
[[zh:一般线性群#特殊線性群]]