特異値のソースを表示

[[数学]]の[[線型代数学]]分野において、[[行列]] {{mvar|A}} の'''特異値'''（とくいち、{{lang-en-short|Singular values}}）とは、{{mvar|A}} の[[随伴行列]] {{mvar|A{{sup|*}}}} との積 {{mvar|AA{{sup|*}}}} の[[固有値]]の非負の平方根のことである{{Sfn|Grégoire Allaire, Sidi Mahmoud Kaber|2007|pp=33-34}}{{sfn|山本|2003}}{{要ページ番号|date=2019年5月}}。
==定義==
以下、
* 行列 {{mvar|A}} の[[随伴行列]]を {{mvar|A{{sup|*}}}}
* 行列 {{mvar|A}} の固有値を {{math|''&lambda;{{sub|i}}''(''A'')}}
* 行列 {{mvar|A}} の特異値を {{math|''&sigma;{{sub|i}}''(''A'')}}
と表記する。

冒頭部の定義を数学記号で書くと次のようになる。
:<math> \sigma_i(A) = \sqrt{\lambda_i(AA^*)} \quad ( A \in M_{m,n}(\mathbb{R} ~~ \mathrm{or} ~~ \mathbb{C}) )</math>

特異値は {{math|''m''&thinsp;&times;&thinsp;''n''}} の行列に対して定義される（固有値は {{math|''n''&thinsp;&times;&thinsp;''n''}} の正方行列でのみ定義される）。

==行列 {{mvar|AA{{sup|*}}}} の性質==
* 行列 {{mvar|AA{{sup|*}}}} は {{math|''m''&thinsp;&times;&thinsp;''m''}} の[[エルミート行列]]（あるいは[[対称行列]]）であり、かつ[[行列の定値性#定義|半正定値]]行列である。つまり、[[任意|任意の]] {{mvar|m}} 次元の零でない[[ベクトル空間|ベクトル]] {{mvar|x}} について以下の条件を満たす。
:<math>x^*AA^*x \ge 0 </math>
* 行列 {{mvar|A{{sup|*}}A}} は {{math|''n''&thinsp;&times;&thinsp;''n''}} のエルミート行列（あるいは対称行列）であり、かつ[[行列の定値性#定義|半正定値]]行列である。つまり、任意の {{mvar|n}} 次元の零でない[[ベクトル空間|ベクトル]] {{mvar|y}} について以下の条件を満たす。
:<math>y^*A^*Ay \ge 0 </math>
よって、
*すべての固有値 {{math|''&lambda;''(''AA{{sup|*}}'')}} および {{math|''&lambda;''(''A{{sup|*}}A'')}} は非負の実数 {{math|''&lambda;'' &ge; 0}} となる。
*半正定値平方根行列がただひとつだけ存在する。

==特異値の性質==
'''注意事項：''' [[行列式]]や[[跡 (線型代数学)|トレース]]などは[[正方行列]]に対して定義されるので {{math|''m''&thinsp;&times;&thinsp;''n''}} の行列 {{mvar|A}} に直接適用してはならない。

*特異値 {{math|''&sigma;''(''A'')}} はすべて非負の実数 {{math|''&sigma;''(''A'') &ge; 0}}
*<math>\sigma_i(A) = \sigma_i(A^*)</math>{{efn|特異値分解で {{math|''M'' {{=}} ''U&Sigma;V{{sup|*}}'', ''M{{sup|*}}'' {{=}} (''U&Sigma;V{{sup|*}}''){{sup|*}} {{=}} ''V&Sigma;{{sup|*}}U{{sup|*}}''}}。特異値を対角成分に持つ {{mvar|&Sigma;}} は[[対角行列]]だから {{math|''&Sigma;'' {{=}} ''&Sigma;{{sup|*}}''}}。}}
*<math>\sigma_i(A) = \sqrt{\lambda_i(AA^*)} = \sqrt{\lambda_i(A^*A)} </math>
*<math>\left( \sqrt{AA^*} \right)^2 x = AA^* x = \lambda_i(AA^*) x = \sigma_i^2(A) x </math>
*<math>\sigma_i(A) = \lambda_i(\sqrt{AA^*}) = \lambda_i(\sqrt{A^*A}) </math>

*<math> \det(AA^*) = \prod_i \lambda_i (AA^*) = \prod_{i=1}^{\min(m,n)} \sigma_{i}^2(A)</math>
*<math> \operatorname{tr}(AA^*) = \sum_{i} \lambda_i (AA^*) = \sum_{i=1}^{\min(m,n)} \sigma_i^2 (A) </math> {{efn|[[フロベニウスノルム]]参照}}

*行列 {{mvar|A}} が {{math|''m'' {{=}} ''n''}} の[[正方行列]]の場合には以下が成り立つ。
**<math> |\det(A)| = \prod_i \sigma_{i}(A)</math> {{efn|(証明) <math>\scriptstyle \det(AA^*) = \det(A) \overline{\det(A)}  = |\det(A)|^2 = \prod_i \sigma_{i}^2(A)</math>.}}
**ワイルの不等式 
::<math> \prod_{i=1}^k | \lambda(A) | \le \prod_{i=1}^k \sigma(A) \quad (1 \le k \le m = n)</math>

*行列 {{mvar|A}} が {{math|''m'' {{=}} ''n''}} の[[正規行列]]の場合には以下が成り立つ。
** 特異値は固有値の絶対値に等しい。 <math>\sigma_i(A) = |\lambda_i(A)|</math>

*行列 {{mvar|A}} が {{math|''m'' {{=}} ''n''}} の半正定値対称行列の場合には以下が成り立つ。
** 特異値は固有値に等しい。 <math>\sigma_i(A) = \lambda_i(A)</math>
*<math>A^p</math>の特異値を<math>\sigma_i^{(p)}</math>として、
:<math>|\lambda_1|\geq\cdots\geq|\lambda_n|,\quad\sigma_1^{(p)}\geq\cdots\geq\sigma_n^{(p)}</math>
と並べるとき、Banach代数の分野で知られた公式（Gelfand, 1941）{{sfn|山本|2003}}{{要ページ番号|date=2019年5月}}:
:<math>\lim_{p\to\infty}\sigma_1^{(p)\frac{1}{p}}=|\lambda_1|</math>
の一般化として、
:<math>\lim_{p\to\infty}\sigma_i^{(p)\frac{1}{p}}=|\lambda_i|,\quad 1\leq i\leq n</math>
が成り立つ<ref>Yamamoto, T. (1967). On the extreme values of the roots of matrices. Journal of the Mathematical Society of Japan, 19(2), 173-178.</ref>。この公式は[[ヒルベルト空間]]上の[[コンパクト作用素]]に対しても成立する<ref>Davis, C. (1970). On a theorem of Yamamoto. Numerische Mathematik, 14(3), 297-298.</ref>。

==脚注==
===出典===
{{Reflist}}
===注釈===
{{Notelist}}

==参考文献==
*{{Cite book |和書 |last=山本|first=哲朗 |title=数値解析入門 |edition=増訂版 |year=2003 |date=2003-06 |publisher=[[サイエンス社]] |series=サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14 |ISBN=4-7819-1038-6|ref=harv}}
*{{Cite
  | author = Grégoire Allaire, Sidi Mahmoud Kaber
  | title = Numerical Linear Algebra
  | publisher = Springer
  | series = Texts in Applied Mathematics
  | volume = 55
  | edition = 
  | date = Mar 1, 2007 
  | pages = 271
  | url = http://link.springer.com/book/10.1007/978-0-387-68918-0/page/1
  | doi = 10.1007/978-0-387-68918-0
  | id = 
  | isbn = 978-0-387-68918-0
  }}
* {{Cite
  | author = Mandan Lal Mehta
  | title = Random Matrices
  | publisher = Elsevier ltd.
  | edition = first edition 2004
  | page = 284
  | date = Nov. 2004
  | url = https://books.google.de/books?id=Kp3Nx03_gMwC&printsec=frontcover&hl=de#v=onepage&q&f=false
  | doi = 
  | isbn = 0-12-088409-7
  }}
*{{Cite web
  | author = Djalil CHAFAÏ
  | authorlink = http://djalil.chafai.net/#documents
  | title = SINGULAR VALUES OF RANDOM MATRICES
  | page = 2
  | date = Nov. 2009
  | url = http://djalil.chafai.net/Docs/sing.pdf
  | format = pdf
  | doi = 
  | accessdate = 2013年3月4日}}

* James Bisgard: "Analysis and Linear Algebra: The Singular Value Decomposition and Applications", AMS, ISBN 978-1-4704-6332-8 (2021).

==関連項目==
*[[特異値分解]]
*[[固有値]]
*[[行列の定値性]]
*[[正規行列]]
*[[エルミート行列]]
*[[対称行列]]

{{Linear-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:とくいち}}
[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:線型代数学]]