独立増分過程のソースを表示

'''加法過程'''（かほうかてい、{{lang-en-short|additive process}}）または'''独立増分過程'''（どくりつぞうぶんかてい、{{lang-en-short|independent increments process}}）とは、[[確率過程]]の一種であり、独立増分性によって特徴付けられる。ポール・ピエール・レヴィ([[:en:Paul Pierre Lévy|{{fr|Paul Pierre Lévy}}]])、[[アレクサンドル・ヒンチン]]などによって詳しく調べられた。代表的かつ典型的な加法過程の例として、[[ウィーナー過程]](ブラウン運動)がある。

==定義==
===加法過程===
[[確率空間]]<math>(\Omega ,\mathcal{F},P)</math>で定義された <math>\mathbb{R}^{d}</math> -値[[確率過程]] <math>X=\{X_{t}\}_{t\geq 0}</math> が'''加法過程'''であるとは次の条件をみたすときをいう:
# <math>X_{0}=0</math>　a.s. 
# 任意の <math>t\geq 0, \varepsilon >0</math> に対して、<math>\lim_{h\to 0}P(|X_{t+h}-X_{t}|>\varepsilon )=0</math>.
# <math>P(\Omega _{0})=1</math> を満たす <math>\Omega _{0}\in \mathcal{F}</math> が存在して、任意の <math>\omega \in \Omega_{0}</math> に対して <math>X_{t}(\omega ):t\mapsto X_{t}(\omega )</math> は右連続かつ左極限をもつ。
# 任意の <math>n=1,2,\ldots </math> と <math>0\leq t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}<\infty </math> に対して、<math>X_{t_{0}},X_{t_{1}}-X_{t_{0}},\ldots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}</math> は[[独立 (確率論)|独立]]。

2. を'''確率連続性'''、3. を'''[[:en:Càdlàg|càdlàg性]]'''、4. を'''独立増分性'''という。

===レヴィ過程===
確率過程 <math>X=\{X_{t}\}_{t\geq 0}</math> が'''レヴィ過程'''であるとは、加法過程であって次の条件をみたすときをいう:
* 任意の <math>s\geq 0</math> に対して、<math>X_{t+s}-X_{t}</math> の分布は <math>t</math> には依存しない。
この条件を'''時間的一様性'''(time homogeneity)、または'''定常増分性'''という。

== 関連項目 ==
* [[自己相似過程]]
* [[非整数ブラウン運動]]
* [[ガウス過程]]
* [[マルコフ過程]]
* [[確率微分方程式]]
* [[数理ファイナンス]]

== 参考文献 ==
*A.Khintchine, ''A new derivation of a formula by. P. Lévy'', Bull. Moscow Gov. Univ. '''1''', No. 1, 1-5.
*P.Lévy. ''Sur les intégrales dont les éléments sont des variables aléatoires indépendentes'', Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (2) '''3''', 337-366.([http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASNSP/ASNSP_1934_2_3_3-4/ASNSP_1934_2_3_3-4_337_0/ASNSP_1934_2_3_3-4_337_0.pdf PDF-files])

{{確率論}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:とくりつそうふんかてい}}
[[Category:確率過程]]
[[Category:数学に関する記事]]