玄妙基数のソースを表示

[[超限数]]を扱う[[数学]]において、'''玄妙基数'''（げんみょうきすう、{{lang-en-short|Ineffable cardinal}}）は[[巨大基数]]の一種で{{harvtxt|Jensen|Kunen|1969}}によって導入された。

[[基数]] <math>\kappa</math> が'''ほとんど玄妙'''であるとは、
全ての順序数<math>\delta < \kappa</math>に対して<math>f(\delta)</math> が<math>\delta</math>の部分集合となるような
全ての関数 <math>f: \kappa \to \mathcal{P}(\kappa)</math> 
(ここで <math>\mathcal{P} (\kappa)</math> は <math>\kappa</math>の[[冪集合]])に対して、
<math>\kappa</math>のある濃度 <math>\kappa</math> の部分集合 <math>S</math>が存在して、
<math>f</math>に対して[[Homogeneous (large cardinal property)|homogeneous]]（ 
すなわち、<math>S</math>の要素である全ての <math>\delta_1 < \delta_2</math> に対して、
<math>f(\delta_1) = f(\delta_2) \cap \delta_1</math> ）となること。


[[基数]] <math>\kappa</math> が'''玄妙'''であるとは、全ての2値関数 <math>f : \mathcal{P}_{=2}(\kappa) \to \{0,1\}</math> に対し
<math>f</math>に対して[[Homogeneous (large cardinal property)|homogeneous]]となる<math>\kappa</math> の[[定常集合]]があること。:
すなわち、<math>f</math> がその定常集合の要素である非順序対を全て0に送るか、全て1に送ること。

もっと一般的に <math>\kappa</math> が '''<math>n</math>-玄妙'''(ただし<math>n</math> は正の整数)
とは、全ての関数 <math>f : \mathcal{P}_{=n}(\kappa) \to \{0,1\}</math> に対して
<math>f</math> に対して'''<math>n</math>-[[Homogeneous (large cardinal property)|homogeneous]]'''
となる<math>\kappa</math> の定常集合が存在する
(すなわち、その定常集合の要素である<math>n</math>-非順序対を全て同じ値に送る)こと。
すなわち、玄妙は2-玄妙と同じ意味である。

'''完全玄妙'''基数とは、<math>2 \leq n < \aleph_0</math>となる全ての n に対して<math>n</math>-玄妙となる基数のこと。
<math>\kappa</math> が <math>(n+1)</math>-玄妙であれば<math>\kappa</math>以下の<math>n</math>-玄妙基数の集合
は <math>\kappa</math> の定常部分集合となる。

完全玄妙基数は[[精妙基数]](subtle cardinal)より強い無矛盾性を持ち、
[[remarkable cardinal]]より弱い無矛盾性を持つ。
巨大基数公理の無矛盾性の強さの表は[[巨大基数的性質の一覧| ここ]] にまとめられている。

==参照==
*{{citation|doi=10.1016/S0168-0072(00)00019-1|first=Harvey|last=Friedman|authorlink=Harvey Friedman|title=Subtle cardinals and linear orderings|journal=Annals of Pure and Applied Logic|year=2001|volume=107|issue=1–3|pages=1–34}}. 
*{{citation|title=Some Combinatorial Properties of L and V |url=http://www.mathematik.hu-berlin.de/~raesch/org/jensen.html|first=R. B. |last=Jensen|first2=K.|last2=Kunen|publisher=Unpublished manuscript|year=1969}}

{{DEFAULTSORT:けんみようきすう}}
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[[Category:巨大基数]]
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