玄妙基数

超限数を扱う数学において、玄妙基数（げんみょうきすう、テンプレート:Lang-en-short）は巨大基数の一種でテンプレート:Harvtxtによって導入された。

基数 $\kappa$ がほとんど玄妙であるとは、 全ての順序数$\delta <\kappa$に対して$f(\delta )$ が$\delta$の部分集合となるような 全ての関数 $f:\kappa \to 𝒫(\kappa )$ (ここで $𝒫(\kappa )$ は $\kappa$の冪集合)に対して、 $\kappa$のある濃度 $\kappa$ の部分集合 $S$が存在して、 $f$に対してhomogeneous（ すなわち、$S$の要素である全ての ${\delta }_1<{\delta }_2$ に対して、 $f({\delta }_1)=f({\delta }_2)\cap {\delta }_1$ ）となること。

基数 $\kappa$ が玄妙であるとは、全ての2値関数 $f:{𝒫}_{=2}(\kappa )\to \{0,1\}$ に対し $f$に対してhomogeneousとなる$\kappa$ の定常集合があること。: すなわち、$f$ がその定常集合の要素である非順序対を全て0に送るか、全て1に送ること。

もっと一般的に $\kappa$ が $n$-玄妙(ただし$n$ は正の整数) とは、全ての関数 $f:{𝒫}_{=n}(\kappa )\to \{0,1\}$ に対して $f$ に対して$n$-homogeneous となる$\kappa$ の定常集合が存在する (すなわち、その定常集合の要素である$n$-非順序対を全て同じ値に送る)こと。 すなわち、玄妙は2-玄妙と同じ意味である。

完全玄妙基数とは、$2\le n<{\mathrm{\aleph }}_0$となる全ての n に対して$n$-玄妙となる基数のこと。 $\kappa$ が $(n+1)$-玄妙であれば$\kappa$以下の$n$-玄妙基数の集合 は $\kappa$ の定常部分集合となる。

完全玄妙基数は精妙基数(subtle cardinal)より強い無矛盾性を持ち、 remarkable cardinalより弱い無矛盾性を持つ。 巨大基数公理の無矛盾性の強さの表は ここ にまとめられている。

参照

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