球冠のソースを表示

[[File:Spherical cap diagram.tiff|thumb|青で示された部分が球冠の一例である。]]

'''球冠'''（英語ではspherical cap, spherical domeやspherical segment of one baseという）とは、[[平面]]により切断された[[球面|球]]の一部のこと。平面が球の中心を通り、球冠の高さが球体の[[半径]]と等しいときには半球となる。

==体積と表面積==
球冠の[[体積]]と曲面の面積は、次の値を組み合わせることで計算できる。
* 球の半径 <math>r</math>
* 球冠の底の半径 <math>a</math>
* 球冠の高さ <math>h</math>
* 球の中心から球冠の頂点（極）までの線と球冠の底を形作る[[円板]]の端との間の[[球面座標系|極角]] <math>\theta</math>
{| class="wikitable"
!
! <math>r</math> と <math>h</math> を用いる
! <math>a</math> と <math>h</math> を用いる
! <math>r</math> と <math>\theta</math> を用いる
|-
! 体積
| <math>V = \frac {\pi h^2}{3} (3r-h)</math> <ref name="handbook">{{citation|title=Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists|first1=Andrei D|last1=Polyanin|first2=Alexander V.|last2=Manzhirov|publisher=CRC Press|year=2006|isbn=9781584885023|page=69|url=https://books.google.com/books?id=ge6nk9W0BCcC&pg=PA69}}.</ref>
| <math>V = \frac{1}{6}\pi h (3a^2 + h^2)</math>
| <math>V = \frac{\pi}{3} r^3 (2+\cos\theta) (1-\cos\theta)^2 </math>
|-
! 表面積
| <math>A = 2 \pi r h</math><ref name="handbook"/>
| <math>A =\pi (a^2 + h^2)</math>
| <math>A=2 \pi r^2 (1-\cos \theta)</math>
|}
<math>\phi</math> が[[地理座標系|地理座標]]における[[緯度]]を示す場合、<math>\theta+\phi = \pi/2 = 90^\circ\,</math>である。

<math>h</math> と <math>r</math> の関係は<math>0\le h\le2r</math>であれば問題ない。例えば、図の赤い部分は<math>h > r</math>の球冠である。

<math>r</math> と <math>h</math> を用いる式は、[[ピタゴラスの定理]]を用いて<math>r</math>の代わりに球冠の底面の半径<math>a</math>を用いる式に書き換えることができる。
:<math>r^2 = (r-h)^2 + a^2 = r^2 + h^2 - 2rh + a^2\,,</math>
つまり
:<math>r= \frac{a^2 + h^2}{2h}\,.</math>
となる。
これを式に代入すると

:<math>V = \frac {\pi h^2}{3} \left(\frac{3a^2 + 3h^2}{2h}-h \right) = \frac{1}{6}\pi h (3a^2 + h^2)\,,</math>
:<math>A = 2 \pi \frac{(a^2 + h^2)}{2h} h = \pi (a^2 + h^2)\,.</math>
となる。
===球面扇形の体積から直感的に表面積を導出する===
以下の議論ベースの計算とは別であるが、球冠の表面積は直感的な議論により球面扇形の体積 <math>V_{sec}</math> から導出することができる<ref>{{cite web |last1=Shekhtman |first1=Zor |title=Unizor - Geometry3D - Spherical Sectors |url=https://www.youtube.com/watch?v=ts3J5onzvQg&t=8m54s |website=YouTube |publisher=Zor Shekhtman |accessdate=31 Dec 2018}}</ref>。
:<math>A = \frac{3}{r}V_{sec} = \frac{3}{r} \frac{2\pi r^2h}{3} = 2\pi rh\,.</math>
直感的な議論は、総体積を無限小の[[三角錐]]の総体積を合計することに基づいている。[[角錐]]の体積の式<math>V = \frac{1}{3} bh'</math>（<math>b</math>は各角錐の底面（球体の表面にある）の無限[[面積]]で、<math>h'</math> は底面から頂点（球の中心）までの各角錐の高さ）を用いる。極限をとったときの各<math>h'</math>は定数であり、球の半径<math>r</math>と等しいため、無限小の角錐の底面積の合計は球冠の表面積に等しくなる。
:<math>V_{sec} = \sum{V} = \sum\frac{1}{3} bh' = \sum\frac{1}{3} br = \frac{r}{3} \sum b = \frac{r}{3} A</math>

===計算を用いた体積と表面積の導出===
[[File:Spherical cap from rotation.svg|thumb|緑の領域を回転させると、高さ <math>h</math> で球の半径<math>r</math>の球冠を作ることができる|right|400 px]]
体積と表面積の式は次の関数
:<math>f(x)=\sqrt{r^2-(x-r)^2}=\sqrt{2rx-x^2}</math> (<math>x \in [0,h]</math>)
を調べ、表面積に対しては[[回転面]]の式、体積に対しては[[回転体]]の式を用いることで導出される。
表面積は
:<math>A = 2\pi\int_0^h f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} \,dx </math>
である。<math>f</math>の導関数は
:<math>f'(x) = \frac{r-x}{\sqrt{2rx-x^2}} </math>
であるから
:<math>1+f'(x)^2 = \frac{r^2}{2rx-x^2} </math>
となる。よって表面積の式は
:<math>A = 2\pi\int_0^h \sqrt{2rx-x^2} \sqrt{\frac{r^2}{2rx-x^2}} \,dx
         = 2\pi \int_0^h r\,dx
         = 2\pi r \left[x\right]_0^h
         = 2 \pi r h </math>
となる。体積は
:<math>V = \pi \int_0^h f(x)^2 \,dx
         = \pi \int_0^h (2rx-x^2) \,dx
         = \pi \left[rx^2-\frac13x^3\right]_0^h
         = \frac{\pi h^2}{3} (3r - h)</math>
となる。
==応用==
===2つの交差する球の和集合と交差部の体積===

半径<math>r_1</math> と <math>r_2</math>の球が交差したときの[[和集合]]の体積は<ref>{{cite journal|first1=Michael L.|last1=Connolly|year=1985|doi=10.1021/ja00291a006|title=Computation of molecular volume|journal= Journal of the American Chemical Society|pages=1118–1124|volume=107|issue=5}}</ref>、

:<math> V = V^{(1)}-V^{(2)}\,,</math>

ここで

:<math>V^{(1)} = \frac{4\pi}{3}r_1^3 +\frac{4\pi}{3}r_2^3</math>

は2つの独立した球の体積の合計で

:<math>V^{(2)} = \frac{\pi h_1^2}{3}(3r_1-h_1)+\frac{\pi h_2^2}{3}(3r_2-h_2)</math>

は交差を作り出す2つの球冠の体積の合計。<math>d \le r_1+r_2</math> が2つの球の中心間の距離であるとき、変数<math>h_1</math> と <math>h_2</math>を消すと<ref>{{cite journal|doi=10.1016/0097-8485(82)80006-5|year=1982|title=A method to compute the volume of a molecule|journal= Computers & Chemistry|first1=R.|last1=Pavani|first2=G.|last2=Ranghino|volume=6|issue=3|pages=133–135}}</ref><ref>{{cite journal|first1=A.|last1=Bondi|doi=10.1021/j100785a001|year=1964|title=Van der Waals volumes and radii|journal= The Journal of Physical Chemistry|volume=68|issue=3|pages=441–451}}</ref>

:<math>V^{(2)} = \frac{\pi}{12d}(r_1+r_2-d)^2 \left( d^2+2d(r_1+r_2)-3(r_1-r_2)^2 \right)\,.</math>
となる。
=== 平行な平板で囲まれた部分の表面積 ===

2つの平行な平板で囲まれた球台の表面積は、それぞれの球冠の表面積の差である。半径<math>r</math>で高さが<math>h_1</math> と <math>h_2</math>の球冠の場合、表面積は

:<math>A=2 \pi r |h_1 - h_2|\,,</math>

であり、地理座標である緯度<math>\phi_1</math> と <math>\phi_2</math>を用いると<ref>{{cite book|title=Successful Software Development|author=Scott E. Donaldson, Stanley G. Siegel|url=https://books.google.com/books?id=lrix5MNRiu4C&pg=PA354|accessdate=29 August 2016|isbn=9780130868268|year=2001}}</ref>

:<math>A=2 \pi r^2 |\sin \phi_1 - \sin \phi_2|\,,</math>

となる。例えば、地球を半径6371&nbsp;kmの球と仮定すると、北極（2016年8月現在、北極圏である緯度66.56°より北<ref>{{cite web|url=http://www.neoprogrammics.com/obliquity_of_the_ecliptic/ |title=Obliquity of the Ecliptic (Eps Mean) |publisher=Neoprogrammics.com |date= |accessdate=2014-05-13}}</ref>）の表面積は、2{{pi}}&middot;6371<sup>2</sup>|sin 90° &minus; sin 66.56°| = 2104万km<sup>2</sup>で、地球の総表面積の0.5&middot;|sin 90° &minus; sin 66.56°| = 4.125%である。

この式を用いることで、地球の表面積の半分が南緯30°と北緯30°の間にあることを示すことができる。この範囲は[[熱帯]]を包含する。

== 一般化 ==

=== 他の立体の部分 ===
回転楕円体のドーム('''spheroidal dome''')は、ドームが円対称（回転軸を持つ）になるように[[回転楕円体]]の一部を切り取ることで得られる。[[楕円体]]から楕円体のドームも同様に得られる。

=== 超球冠 ===

一般的に、<math>n</math>次元ユークリッド空間における高さ<math>h</math> で半径 <math>r</math>の超球冠の<math>n</math>次元の体積は<ref>{{cite journal | last1 = Li | first1 = S | year = 2011 | title = Concise Formulas for the Area and Volume of a Hyperspherical Cap | url = | journal =  Asian Journal of Mathematics & Statistics| volume = 4 | issue = 1| pages = 66–70 | doi = 10.3923/ajms.2011.66.70 }}</ref>
:<math>V = \frac{\pi ^ {\frac{n-1}{2}}\, r^{n}}{\,\Gamma \left ( \frac{n+1}{2} \right )} \int\limits_{0}^{\arccos\left(\frac{r-h}{r}\right)}\sin^n (t) \,\mathrm{d}t</math>
で与えられる。ここで<math>\Gamma</math>（[[ガンマ関数]]）は<math> \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t </math>で与えられる。

<math>V</math>の式は、n次元[[球体]]単位の体積<math>C_{n}={\scriptstyle \pi^{n/2}/\Gamma[1+\frac{n}{2}]}</math>や[[超幾何関数]] <math>{}_{2}F_{1}</math> 、正規化[[不完全ベータ関数]] <math>I_x(a,b)</math> を用いて
:<math>V = C_{n} \, r^{n} \left( \frac{1}{2}\, - \,\frac{r-h}{r} \,\frac{\Gamma[1+\frac{n}{2}]}{\sqrt{\pi}\,\Gamma[\frac{n+1}{2}]}
{\,\,}_{2}F_{1}\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1-n}{2};\tfrac{3}{2};\left(\tfrac{r-h}{r}\right)^{2}\right)\right)
=\frac{1}{2}C_{n} \, r^n I_{(2rh-h^2)/r^2} \left(\frac{n+1}{2}, \frac{1}{2} \right)</math>と表すことができ、

表面積の式<math>A</math>は、n次元球体単位の表面積<math>A_{n}={\scriptstyle 2\pi^{n/2}/\Gamma[\frac{n}{2}]}</math>を用いて
:<math>A =\frac{1}{2}A_{n} \, r^{n-1} I_{(2rh-h^2)/r^2} \left(\frac{n-1}{2}, \frac{1}{2} \right)</math>
と表すことができる。ここで<math>0\le h\le r </math>である。

それより前に<ref name="Minimax-86">{{cite journal|title=On minimax signal generation and reception algorithms (rus.)|first1=Alexander M.|last1=Chudnov|journal=Problems of Information Transmission|year=1986|volume=22|number=4|pages=49–54|url=http://mi.mathnet.ru/ppi958}}</ref> (1986, USSR Academ. Press) 次の式が導出されていた。
<math> A=A_n p_ { n-2 } (q), V=C_n p_n (q) </math>, where 
<math> q= 1-h/r (0 \le q \le 1 ), p_n (q) =(1-G_n(q)/G_n(1))/2 </math>,

<math> G _n(q)= \int \limits_{0}^{q} (1-t^2) ^ { (n-1) /2 } dt </math>.

奇数<math> n=2k+1: </math>に対しては

<math> G_n(q) = \sum_{i=0}^k (-1) ^i \binom k i \frac {q^{2i+1}} {2i+1} </math>.

==== 漸近性 ====

<math> n \to \infty </math>および<math>q\sqrt n = \text{const.}</math>である場合、<math> p_n (q) \to 1- F({q \sqrt n}) </math>（<math> F() </math>は標準[[正規分布]]の積分）であることが示されている<ref name= "Game-91">{{cite journal|title=Game-theoretical problems of synthesis of signal generation and reception algorithms (rus.)|first1=Alexander M|last1=Chudnov|journal=Problems of Information Transmission|year=1991|volume=27|number=3|pages=57–65|url=http://mi.mathnet.ru/ppi570}}</ref>。

より定量的な方法でこれを書くと<ref>Anja Becker, Léo Ducas, Nicolas Gama, and Thijs Laarhoven. 2016. New directions in nearest neighbor searching with applications to lattice sieving. In Proceedings of the twenty-seventh annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms (SODA '16), Robert Kraughgamer (Ed.). Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, USA, 10-24.</ref>、境界<math>
A/A_n = n^{\Theta(1)} \cdot [(2-h/r)h/r]^{n/2}</math>が与えられる。
大きな球冠（<math>n\to \infty</math>で<math>(1-h/r)^4\cdot n = O(1)</math>）の場合、境界は<math>n^{\Theta(1)} \cdot e^{-(1-h/r)^2n/2} </math>と簡単にすることができる。

== 関連項目 ==
{{Portal|数学}}
* [[弓形]] — 2次元の物体への類推
* [[立体角]] — n次元球冠の式に含まれる
* [[球台]]
* [[半楕円体形]]
* {{仮リンク|球面扇形|en|Spherical sector}}
* {{仮リンク|球面楔形|en|Spherical wedge}}

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 関連文献 ==
* {{cite journal|first1= Timothy J. | last1=Richmond |title=Solvent accessible surface area and excluded volume in proteins: Analytical equation for overlapping spheres and implications for the hydrophobic effect |journal=  Journal of Molecular Biology|year=1984 | doi=10.1016/0022-2836(84)90231-6 | pmid=6548264 |volume=178 | number=1 |pages=63–89 }}
* {{cite journal| first1=Rolf | last1=Lustig |title=Geometry of four hard fused spheres in an arbitrary spatial configuration |journal=  Molecular Physics|year=1986 |volume=59 | number=2 | pages=195–207 |bibcode=1986MolPh..59..195L |doi= 10.1080/00268978600102011}}
* {{cite journal | first1=K. D. | last1=Gibson |first2=Harold A. |last2=Scheraga |title=Volume of the intersection of three spheres of unequal size: a simplified formula |year=1987 | journal= The Journal of Physical Chemistry|volume=91 | number =15 | pages =4121–4122 | doi=10.1021/j100299a035}}
* {{cite journal | first1=K. D. | last1=Gibson |first2=Harold A. | last2=Scheraga |title=Exact calculation of the volume and surface area of fused hard-sphere molecules with unequal atomic radii |year=1987 | journal=  Molecular Physics|volume=62 | number=5 | pages=1247–1265 | bibcode=1987MolPh..62.1247G |doi=10.1080/00268978700102951}}
* {{ cite journal | first1=Michel | last1=Petitjean |title=On the analytical calculation of van der Waals surfaces and volumes: some numerical aspects |journal= Journal of Computational Chemistry|year=1994 | volume=15 | number=5 | pages=507–523 | doi=10.1002/jcc.540150504}}
* {{cite journal | first1=J. A. | last1=Grant |first2=B. T. | last2=Pickup |title=A Gaussian description of molecular shape |journal= The Journal of Physical Chemistry|year=1995 | volume=99 | number= 11 |doi=10.1021/j100011a016 |pages=3503–3510}}
* {{cite journal | first1= Jan | last1=Busa | first2=Jozef | last2=Dzurina |first3=Edik | last3=Hayryan | first4=Shura | last4=Hayryan |title=ARVO: A fortran package for computing the solvent accessible surface area and the excluded volume of overlapping spheres via analytic equations |journal=  Computer Physics Communications|bibcode=2005CoPhC.165...59B |year=2005 | volume=165 | issue=1 | pages=59–96 | doi=10.1016/j.cpc.2004.08.002}}

== 外部リンク ==
{{Commons category|Spherical caps}}
* {{MathWorld |id=SphericalCap |title=Spherical cap}} Derivation and some additional formulas.
* [http://formularium.org/?go=81 Online calculator for spherical cap volume and area].
* [http://mathforum.org/dr.math/faq/formulas/faq.sphere.html#spherecap Summary of spherical formulas].

{{DEFAULTSORT:きゆうかん}}
[[Category:球面幾何学]]