理想数のソースを表示

[[数論]]の{{読み仮名_ruby不使用|'''理想数'''|りそうすう|{{lang-en-short|ideal number}}}}とは、[[エルンスト・クンマー]]が[[円分体]]の整数の理想的な素因子分解に現れる数として想像した、架空の数の概念である。この概念は[[リヒャルト・デーデキント]]による環の[[イデアル_(環論)|イデアル]]の定義へと発展した。

== 定義 ==
理想数そのものは直接定義されず、円分整数に「理想因子が含まれるかどうか」だけが定義される{{Sfn|Mazur|1977|p=982}}。この定義を述べる。

{{mvar|λ}}
を[[素数|奇素数]]、{{mvar|α}} を 1 の
{{mvar|λ}}
乗根とする。現代の慣例とは記号の使い方が異なるが、{{harvtxt|Kummer|1851}} はこのように記号を使っている。以下もクンマーの記号の使い方にあわせる。

{{mvar|q}}
を {{mvar|λ}} とは異なる素数とする{{Efn|
クンマーは
{{math|1=''q'' = ''λ''}}
の場合も考えているが、その場合の定義は簡単なのでここでは扱わない。
}}。{{mvar|f}}
を
{{math|1=''q''{{sup|''f''}} ≡ 1 mod ''λ''}}
となる最小の正整数とする。{{mvar|f}}
は
{{math|''λ'' &minus; 1}}
を割り切るので
{{math|1=''e'' := (''λ'' &minus; 1)/''f''}}
と置くとこれは正整数である。整数 {{mvar|γ}} を {{mvar|λ}} を法としての[[原始根]]とする。つまり
{{mvar|γ}} が定める
{{math|('''Z'''/''λ'''''Z'''){{sup|✕}}}} での[[剰余類]]がこの[[巡回群]]の生成元となるようなものとする。

{{math|1=''η{{sub|i}}'' = {{SubSup|∑|''j'' {{=}} 0|''f'' &minus; 1}} ''α''{{sup|''γ''{{sup|''i''+''ej''}} }} }}
と置く。これは{{仮リンク|ガウス周期|en|Gaussian period}}と呼ばれている。0番目は {{math|1=''η'' = ''η''{{sub|0}}}} と略記する。クンマーはガウス周期の整数による一次結合全体
{{math|'''Z'''''η''+'''Z'''''η''{{sub|1}}+…+'''Z'''''η''{{sub|''e'' &minus; 1}}}}
が環になることを示した。これにより
{{math|'''Z'''''η''+'''Z'''''η''{{sub|1}}+…+'''Z'''''η''{{sub|''e'' &minus; 1}}}}
と
{{math|'''Z'''[''η'', ''η''{{sub|1}}, ..., ''η''{{sub|''e'' &minus; 1}}]}}
は等しいので、この環は後者の記号で表すことにする。当時「環」という概念は無かったので、クンマーはこれを「周期の有理整関数は周期の一次結合として表示できる」と言い表している。

{{math|'''Z'''[''η'', ''η''{{sub|1}}, ..., ''η''{{sub|''e'' &minus; 1}}]}}
の元は
{{math|''φ''(''η'')}}
と表すことにする。一般には
{{math|'''Z'''[''η'']}}
と
{{math|'''Z'''[''η'', ''η''{{sub|1}}, ..., ''η''{{sub|''e'' &minus; 1}}]}}
は異なる<ref>
Lawrence C. Washington, {{Google books|KBgDCAAAQBAJ|Introduction to Cyclotomic Fields|page=16}}</ref>。したがって後者の環のすべての元を整数係数の多項式 {{mvar|φ}} を使って
{{math|''φ''(''η'')}}
と表すことはできない。そのため
{{math|''φ''(''η'')}}
という書き方は誤解を招きやすいのであるが、クンマーにならって
{{math|''η'', ''η''{{sub|1}}, ..., ''η''{{sub|''e'' &minus; 1}}}}
の整数係数の一次結合をこのような記号で表すことにする。

{{math|''η'', ''η''{{sub|1}}, ..., ''η''{{sub|''e'' &minus; 1}}}}
を根に持つ整数係数の[[モニック多項式]]が存在し、それは
{{math|mod ''q''}}
で {{mvar|e}} 個の根を持つ{{Efn|
クンマーの1851年の論文にはギャップがあったと指摘されている。{{harvtxt|Mazur|1977|p=980}}参照。
}}。
整数
{{math|1=''u'' = ''u''{{sub|0}}, ''u''{{sub|1}}, ..., ''u''{{sub|''e'' &minus; 1}}}}
を
{{math|mod ''q''}}
するとその根になるものとする。{{math|''u''{{sub|''r''}}}}
を一つ取ると、[[環準同型]]
{{math|'''Z'''[''η'', ''η''{{sub|1}}, ..., ''η''{{sub|''e'' &minus; 1}}] → '''F'''{{sub|''q''}} }}
であって {{mvar|η}} の[[像 (数学)|像]]が
{{math|''u''{{sub|''r''}}}}
の[[剰余類]]になるものが唯一存在する。クンマーの時代に「環準同型」という概念は無かったので
クンマーは
{{math|''φ''(''η'')}}
の
{{mvar|η}}
を
{{math|''u''{{sub|''r''}}}}
に置き換えて合同式を考える、というような表現をしている。簡潔に述べるため、ここでは「環準同型」の言葉を用いる。

{{math|''f''&thinsp;(X)}}
を一変数の整数係数多項式として
{{math|''f''&thinsp;(''α'')}}
を考える。これは今日でいうところの円分整数であるが、クンマーは「複素数」と呼んでいる。またアルファベットの
{{mvar|f}}
はもう使ってしまっているので記号は重複しているのであるが、多項式の方の {{mvar|f}} は必ず
{{math|''f''&thinsp;(''α'')}}
として使うことにして区別する。

以上の準備のもと、クンマーは
{{math|1=''f''&thinsp;(''α'') }}
が
: {{nowrap|{{math|1=''f''&thinsp;(''α'') ≡ 0 mod ''q''}} for {{math|1=''η'' = ''u{{sub|r}}''}}}}
を満たすとき「{{math|1=''f''&thinsp;(''α'') }} は
置換 {{math|1=''η'' = ''u{{sub|r}}''}} に属する {{mvar|q}} の理想素因子を含む」と定義した{{Sfn|Kummer|1851|p=429}}。この合同式の定義は次の通りである。まず
{{math|1=''f''&thinsp;(''α'') }}
を
{{math|'''Z'''[''η'', ''η''{{sub|1}}, ..., ''η''{{sub|''e'' &minus; 1}}]}}
の元
{{math|''φ{{sub|j}}''(''η'')}}（{{math|1=''j''=0, 1, ..., ''f'' &minus; 1}}）を使って
{{math|1=''f''&thinsp;(''α'') = {{SubSup|∑|''j'' {{=}} 0| ''f'' &minus; 1}} ''α''{{sup|''j''}} ''φ{{sub|j}}''(''η'')}}
として表す（表せる）。そしてすべての {{mvar|j}} に対して
{{math|1=''φ{{sub|j}}''(''u{{sub|r}}'') ≡ 0 mod ''q''}}
が成り立つこと、つまり
{{math|1=''φ{{sub|j}}''(''η'')}}
を先ほどの環準同型で送ると 0 になることを先の合同式の定義とする。

クンマーはこの合同式で理想因子が含まれるかどうか判定することを化学で例えて「試薬によって生じる沈殿物で溶液に含まれる元素を決定するようなもの」と言っている{{Sfn|Mazur|1977|p=978}}。

=== イデアル論を使った解釈 ===

記号は今までと同じとする。クンマーが定義した環準同型
{{math|'''Z'''[''η'', ''η''{{sub|1}}, ..., ''η''{{sub|''e'' &minus; 1}}] → '''F'''{{sub|''q''}} }}
の核を
{{math|𝖖}}
とする。これは[[剰余環]]が[[整域]]（更に強く体）なので[[素イデアル]]である。これを延長したイデアル
{{math|𝖖'''Z'''[''α'']}}
も
{{math|'''Z'''[''α'']}}
の素イデアルである（後述）。円分整数
{{math|1=''f''&thinsp;(''α'') }}
がこの素イデアルに含まれることと「置換 {{math|1=''η'' = ''u{{sub|r}}''}} に属する {{mvar|q}} の理想素因子を含む」ことは同値である。このことは次のように状況を整理すれば判明する。

* [[代数体]] {{math|'''Q'''(''α'')}} は[[円分体]]であり、[[有理数体]] {{math|'''Q'''}} の {{math|''λ'' &minus; 1}} 次の[[巡回拡大]]である。{{math|'''Q'''(''η'')}} は {{math|'''Q'''(''α'')}} の[[部分体]]で、{{math|'''Q'''}} 上の拡大次数は {{mvar|e}} である。これは {{mvar|η}} の共役が {{math|''η''{{sub|''j''}}}} 達でこれらが互いに相異なることから分かる。

* {{math|'''Q'''(''α'')}} の整数環は {{math|'''Z'''[''α'']}} である。また、{{math|'''Q'''(''η'')}} の整数環は {{math|'''Z'''[''η'', ''η''{{sub|1}}, ..., ''η''{{sub|''e'' &minus; 1}}]}} である。さらに強く、{{math|''η'', ''η''{{sub|1}}, ..., ''η''{{sub|''e'' &minus; 1}}}} は[[代数体#整数環|整基底]]である{{Sfn|Lemmermeyer|2011|p=12}}。

* 素数 {{mvar|q}} は {{mvar|λ}} と異なる素数なので、拡大 {{math| '''Q'''(''α'')/'''Q'''}} での {{mvar|q}} の分岐指数は 1、剰余次数は {{mvar|f}} である。よって[[ガロア拡大での素イデアルの分解|ガロア拡大における素イデアルの分解理論]]から、{{mvar|q}} は拡大 {{math|'''Q'''(''α'')/'''Q'''}} において {{math|1=(''λ'' &minus; 1)/''f'' = ''e''}} 個の素イデアルに分解する。

* また、{{mvar|q}} の分解体は {{math|'''Q'''(''η'')}} である。これは分解体の {{math|'''Q'''}} 上の拡大次数が {{math|'''Q'''(''η'')}} と同じく {{mvar|e}} であることと {{math| '''Q'''(''α'')/'''Q'''}} が巡回拡大であることから分かる。したがって {{math|'''Q'''(''η'')/'''Q'''}} においても {{mvar|q}} は {{mvar|e}} 個の素イデアルに分解する。

* {{math|𝖖}} は[[剰余体]]の[[標数]]が {{mvar|q}} なので、この {{mvar|e}} 個の素イデアルのうちの一つである。

* {{math|'''Q'''(''η'')}} が {{mvar|q}} の分解体なので、{{math|𝖖}} は拡大 {{math|'''Q'''(''α'')/'''Q'''(''η'')}} で分解せず、剰余体の拡大のみ起きる。したがって {{math|𝖖'''Z'''[''α'']}} は {{math|'''Z'''[''α'']}} の素イデアルである。

* 有限体 {{math|'''Z'''[''α'']/𝖖'''Z'''[''α'']}} は有限体 {{math|'''Z'''[''η'', ''η''{{sub|1}}, ..., ''η''{{sub|''e'' &minus; 1}}]/𝖖 ≅ '''F'''{{sub|''q''}} }} の {{mvar|f}} 次拡大である。また {{math|''α''{{sup|0}}, ''α''{{sup|1}}, ... , ''α''{{sup|''f'' &minus; 1}}}} の剰余類がその基底である。

* したがって、{{math|1=''f''&thinsp;(''α'') = {{SubSup|∑|''j'' {{=}} 0| ''f'' &minus; 1}} ''α''{{sup|''j''}}''φ{{sub|j}}''(''η'')}} が {{math|mod 𝖖'''Z'''[''α'']}} で 0 になることと、すべての {{math|''φ{{sub|j}}''(''η'')}} が {{math|mod 𝖖}} で 0 になることは同値である。また、{{math|''φ{{sub|j}}''(''η'')}} の {{math|mod 𝖖}} での剰余類は {{math|''φ{{sub|j}}''(''u''{{sub|''r''}})}} の {{math|mod ''q''}} での剰余類と自然に同一視できる。

* 以上から、円分整数 {{math|1=''f''&thinsp;(''α'') }} が素イデアル {{math|𝖖'''Z'''[''α'']}} に含まれることと「置換 {{math|1=''η'' = ''u{{sub|r}}''}} に属する {{mvar|q}} の理想素因子を含む」ことは同値である。

象徴的に言えば、「理想素因子を含む」の定義はイデアル論での「素イデアルを含む」の定義と完全に一致している、ということになる。

==歴史==

クンマーは[[円分体]]では一意分解が必ずしも成立しないことを1844年にマイナーな雑誌でまず公表した。これは1847年に[[ジョゼフ・リウヴィル|リウヴィル]]の数学誌で再版された。これに続き、1846年と1847年の論文で彼は彼の主定理、つまり（実際の、また理想の）因子への一意分解定理を公表した。

クンマーは[[フェルマーの最終定理]]への興味に導かれて「理想複素数」の概念に至ったと広く信じられている。また、[[ペーター・グスタフ・ディリクレ|ディリクレ]]によって彼の議論が一意分解に依存していることを指摘されるまで、クンマーは（[[ガブリエル・ラメ|ラメ]]のように）フェルマーの最終定理を証明できたと勘違いしていた、という物語もよく目にする。しかし、この物語は1910年に[[クルト・ヘンゼル]]によってはじめて語られたものであるが、ヘンゼルの情報源の一つには混乱があった（それを裏付ける証拠もある）。{{仮リンク|ハロルド・エドワーズ|en|Harold Edwards (mathematician)}}によれば、クンマーの主な興味がフェルマーの最終定理にあったとする信仰は「はっきりと誤り」である(Edwards 1977, p. 79)。λ で素数を表し α で 1 の λ 乗根を表すクンマーの記号の使い方や、<math>p\equiv 1 \pmod{\lambda}</math>
を満たす素数の「1 の
<math>\lambda</math>
乗根から構成される複素数」への分解の研究はすべて{{仮リンク|相互法則|label=高次相互法則|en|reciprocity law}}を扱った[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ|ヤコビ]]の論文を踏襲している。クンマーの1844年の論文は[[ケーニヒスベルク大学]]の創立記念に寄せたものでヤコビに捧げることを意図したものであった。クンマーはフェルマーの最終定理を1830年代に研究していたので、おそらく彼の理論がフェルマーの最終定理に対して何か意味することのあることを気づいていたが、ヤコビ（と[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]）が興味を持っていたテーマ、つまり高次相互法則のほうが彼にとってより重要であった、とするほうがよりありそうなことと考えられる。クンマーは自身の[[正則素数]]に対するフェルマーの最終定理の証明を「整数論において重要なものというより珍品」だと言っており、高次相互法則（彼は「予想」と書いている）を「主要なテーマであり現代整数論の頂点」と言っている。ただし、後者の発言はクンマーが相互法則に関する研究に成功して興奮冷めやらぬころになされたもので、それはフェルマーの最終定理の研究が息切れしていたときだったので、割り引いて聞いたほうがいいかもしれない。

クンマーのアイデアを一般の場合に拡張することは[[レオポルト・クロネッカー|クロネッカー]]とデデキントによってその後の40年で独立に達成された。直接的な一般化は非常な困難に遭遇したので、ついにはこれがデデキントを[[環上の加群|加群]]と[[イデアル_(環論)|イデアル]]の理論の創造に導くことになった。クロネッカーは"form"（[[二次形式]]の一般化）の理論と[[因子 (代数幾何学)|因子]]の理論を切り拓くことによって困難に立ち向かった。デデキントの貢献は[[環論]]と[[抽象代数学]]の基礎になり、クロネッカーの手法は[[代数幾何学]]の重要なツールになった。

== 脚注 ==

{{脚注ヘルプ}}

=== 注釈 ===

{{Notelist}}

=== 出典 ===

{{Reflist|2}}

== 関連項目 ==
* [[イデアル (環論)|イデアル]]
* [[フェルマーの最終定理]]

==参考文献==

*[[ニコラ・ブルバキ]], ''Elements of the History of Mathematics.'' Springer-Verlag, NY, 1999.
*{{仮リンク|ハロルド・エドワーズ|en|Harold M. Edwards}}, ''Fermat's Last Theorem. A genetic introduction to number theory.'' Graduate Texts in Mathematics vol. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
*C.G. Jacobi, ''Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind,'' Monatsber. der. Akad. Wiss. Berlin (1839) 89-91.
*E.E. Kummer, ''De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus constant,'' Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Königsberg, 1844; reprinted in ''Jour. de Math.'' 12 (1847) 185-212.
*E.E. Kummer, ''Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren,'' Jour. für Math. (Crelle) 35 (1847) 327-367.
*{{仮リンク|ジョン・スティルウェル|en|John Stillwell}}, introduction to ''Theory of Algebraic Integers'' by Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Great Britain, 1996.
* {{Cite journal| pages = 377–498| last = Kummer| first = E.-E.| title = Mémoire sur la théorie des nombres complexes composés de racines de l'unité et de nombres entiers.| journal = Journal de Mathématiques Pures et Appliquées | date = 1851| url = https://eudml.org/doc/235621 | ref = harv}}
* {{Cite arXiv|last=Lemmermeyer|first=Franz|title=Jacobi and Kummer's Ideal Numbers|date=2011|eprint=1108.6066}}
* {{Cite journal| volume = 83| issue = 5| pages = 976–988| last = Mazur| first = Barry| title = Review: André Weil, Ernst Edward Kummer, Collected Papers| journal = Bulletin of the American Mathematical Society| date = 1977| url = https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society/volume-83/issue-5/Review-Andr%c3%a9-Weil-Ernst-Edward-Kummer-Collected-Papers/bams/1183539459.full | ref = harv}}

== 関連文献 ==

* {{Cite book|和書| publisher = [[日本評論社]]| author = 足立恒雄 | authorlink = 足立恒雄 | title = フェルマーの大定理: 整数論の源流| edition = 3 | year = 1996 | isbn = 978-4-535-78231-0 | ref={{SfnRef|足立|1996}}}}理想数の解説がある。
* {{Cite book|和書| publisher = [[現代数学社]]| author = 高瀬正仁 | authorlink = 高瀬正仁 | title = クンマー先生のイデアル論: 数論の神秘を求めて| year = 2021 | isbn = 978-4-7687-0549-0 | ref={{SfnRef|高瀬|2021}}}}クンマーの1851年の論文の解説がある。

==外部リンク==

* [https://fermatslasttheorem.blogspot.com/2006/07/cyclotomic-integers-ideal-numbers_25.html Ideal Numbers], 理想数の理論が円分整数の一意分解を救うことの証明が書かれた [http://fermatslasttheorem.blogspot.com Fermat's Last Theorem Blog] の記事

[[Category:数論]]
[[Category:数]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{デフォルトソート:りそうすう}}