環の直積のソースを表示

{{refimprove|date=November 2012}}

[[数学]]において、いくつかの[[環 (数学)|環]]を1つの大きい'''直積環'''（ちょくせきかん）、'''積環''' (せきかん、{{Lang-en-short|product ring}}) に合併することができる。これは次のようにされる： ''I'' がある[[添字集合|添え字集合]]で ''R<sub>i</sub>'' が ''I'' のすべての ''i'' に対して環であれば、[[カルテジアン積]] {{nowrap|Π<sub>''i'' ∈ ''I''</sub> ''R''<sub>''i''</sub>}} は演算を 成分ごとの演算として定義することによって環にできる。

得られる環は環 ''R''<sub>''i''</sub> の'''直積''' ({{Lang-en-short|links=no|direct product}}) と呼ばれる。有限個の環の直積は環の[[直和]]{{Enlink|direct sum|s=off}}と一致する。

== 例 ==
重要な例は[[整数]]の ''n'' を[[合同算術|法]]とした環 '''Z'''/''n'''''Z''' である。''n'' が[[素数]]のベキの積

<math display="block">n=p_1^{n_1}\  p_2^{n_2}\ \cdots\ p_k^{n_k}</math>

ただし ''p<sub>i</sub>'' は相異なる素数、として書かれていれば（[[算術の基本定理]]を見よ）、'''Z'''/''n'''''Z''' は自然に直積環

<math display="block">\mathbf{Z}/p_1^{n_1}\mathbf{Z} \ \times \ \mathbf{Z}/p_2^{n_2}\mathbf{Z} \ \times \ \cdots \ \times \ \mathbf{Z}/p_k^{n_k}\mathbf{Z}</math>
と[[同型]]である。これは[[中国剰余定理]]から従う。

== 性質 ==
{{nowrap|1=''R'' = Π<sub>''i'' ∈ ''I''</sub> ''R''<sub>''i''</sub>}} が環の積であれば、すべての ''i'' &isin; ''I'' に対して、''i'' 番目の座標に積を射影する[[全射]][[環準同型]] {{nowrap|''p<sub>i</sub>'': ''R'' → ''R<sub>i</sub>''}} がある。射影 ''p<sub>i</sub>'' とともに積 ''R'' は、以下の[[普遍性]]をもっている：

{{Indent|''S'' が任意の環で {{nowrap|''f<sub>i</sub>'': ''S'' → ''R<sub>i</sub>''}} がすべての ''i'' &isin; ''I'' に対して環準同型であれば、''ちょうど1つの''環準同型 {{nowrap|''f'': ''S'' → ''R''}} が存在してすべての ''i'' &isin; ''I'' に対して {{nowrap|1=''p<sub>i</sub>'' ∘ ''f'' = ''f<sub>i</sub>''}} である。}}

これは環の積が[[積 (圏論)|圏論の意味での積]]の例であることを示している。しかしながら、''I'' が有限のときには環の直和とも呼ばれるにもかかわらず、環の直積は圏論の意味で[[余積]]ではない。とくに、''I'' が1つより多くの元をもっていれば、包含写像 {{nowrap|''R<sub>i</sub>'' → ''R''}} は環準同型ではない、なぜならばそれは ''R<sub>i</sub>'' の単位元を ''R'' の単位元に写さないからだ。

各 ''i'' &isin; ''I'' に対して ''A<sub>i</sub>'' が ''R<sub>i</sub>'' の[[イデアル]]であれば、{{nowrap|1=''A'' = Π<sub>''i'' ∈ ''I''</sub> ''A<sub>i</sub>''}} は ''R'' のイデアルである。''I'' が有限であれば、逆が正しい、すなわち ''R'' のすべてのイデアルはこの形である。しかしながら、''I'' が無限で環 ''R<sub>i</sub>'' が 0 でなければ、逆は間違いである。有限個を除いてすべてが 0 でない座標の元全体の集合は ''R<sub>i</sub>'' たちのイデアルの直積ではないイデアルをなす。''A<sub>i</sub>'' の1つを除くすべてが ''R<sub>i</sub>'' に等しく残りの ''A<sub>i</sub>'' が ''R<sub>i</sub>'' の素イデアルであれば、イデアル ''A'' は ''R'' の[[素イデアル]]である。しかしながら、''I'' が無限のとき逆は正しくない。例えば、''R<sub>i</sub>'' の[[加群の直和|直和]]はどんなそのような ''A'' にも含まれないイデアルをなすが、[[選択公理]]によって、[[:en:a fortiori|a fortiori]] に素イデアルである[[極大イデアル]]に含まれる。

''R'' の元 ''x'' が単元であることとその 成分 のすべてが単元であることは同値である、すなわち {{nowrap|''p<sub>i</sub>''(''x'')}} がすべての ''i'' &isin; ''I'' に対して ''R<sub>i</sub>'' の単元であることは同値である。''R'' の単元群は ''R<sub>i</sub>'' の単元[[群の直積]]である。

1 つよりも多い 0 でない環の積は常に[[零因子]]をもつ： ''x'' が {{nowrap|''p<sub>i</sub>''(''x'')}} を除いて座標がすべて 0 の積の元で ''y'' が {{nowrap|''p<sub>i</sub>''(''x'')}} を除いて座標がすべて 0 の積の元 ({{nowrap|''i'' ≠ ''j''}}) であれば、積環において {{nowrap|1=''xy'' = 0}} である。

== 参考文献 ==
*{{Citation
| last=Herstein
| first=I.N.
| author-link=Israel Nathan Herstein
| title=Noncommutative rings
| year=2005
| publisher=[[Cambridge University Press]]
| edition=5th
| isbn=978-0-88385-039-8
| origyear=1968
}}
*{{Lang Algebra|edition=3r|page=91}}

== 関連項目 ==
* [[直積]] ([[:en:Direct product|Direct product]])

{{DEFAULTSORT:かんのちよくせき}}
[[Category:環論]]
[[Category:二項演算]]
[[Category:数学に関する記事]]