環の直積

数学において、いくつかの環を1つの大きい直積環（ちょくせきかん）、積環 (せきかん、テンプレート:Lang-en-short) に合併することができる。これは次のようにされる： I がある添え字集合で R_i が I のすべての i に対して環であれば、カルテジアン積 テンプレート:Nowrap は演算を 成分ごとの演算として定義することによって環にできる。

得られる環は環 R_i の直積 (テンプレート:Lang-en-short) と呼ばれる。有限個の環の直積は環の直和テンプレート:Enlinkと一致する。

例

重要な例は整数の n を法とした環 Z/nZ である。n が素数のベキの積

$$n=p_1^{n_1}{p}_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k}$$

ただし p_i は相異なる素数、として書かれていれば（算術の基本定理を見よ）、Z/nZ は自然に直積環

$$𝐙/p_1^{n_1}𝐙\times 𝐙/p_2^{n_2}𝐙\times \cdots \times 𝐙/p_k^{n_k}𝐙$$ と同型である。これは中国剰余定理から従う。

性質

テンプレート:Nowrap が環の積であれば、すべての i ∈ I に対して、i 番目の座標に積を射影する全射環準同型 テンプレート:Nowrap がある。射影 p_i とともに積 R は、以下の普遍性をもっている：

これは環の積が圏論の意味での積の例であることを示している。しかしながら、I が有限のときには環の直和とも呼ばれるにもかかわらず、環の直積は圏論の意味で余積ではない。とくに、I が1つより多くの元をもっていれば、包含写像 テンプレート:Nowrap は環準同型ではない、なぜならばそれは R_i の単位元を R の単位元に写さないからだ。

各 i ∈ I に対して A_i が R_i のイデアルであれば、テンプレート:Nowrap は R のイデアルである。I が有限であれば、逆が正しい、すなわち R のすべてのイデアルはこの形である。しかしながら、I が無限で環 R_i が 0 でなければ、逆は間違いである。有限個を除いてすべてが 0 でない座標の元全体の集合は R_i たちのイデアルの直積ではないイデアルをなす。A_i の1つを除くすべてが R_i に等しく残りの A_i が R_i の素イデアルであれば、イデアル A は R の素イデアルである。しかしながら、I が無限のとき逆は正しくない。例えば、R_i の直和はどんなそのような A にも含まれないイデアルをなすが、選択公理によって、a fortiori に素イデアルである極大イデアルに含まれる。

R の元 x が単元であることとその 成分 のすべてが単元であることは同値である、すなわち テンプレート:Nowrap がすべての i ∈ I に対して R_i の単元であることは同値である。R の単元群は R_i の単元群の直積である。

1 つよりも多い 0 でない環の積は常に零因子をもつ： x が テンプレート:Nowrap を除いて座標がすべて 0 の積の元で y が テンプレート:Nowrap を除いて座標がすべて 0 の積の元 (テンプレート:Nowrap) であれば、積環において テンプレート:Nowrap である。

参考文献

• テンプレート:Citation
• テンプレート:Lang Algebra

関連項目

• 直積 (Direct product)