百二十角形のソースを表示

[[ファイル:Regular polygon 120.svg|300px|サムネイル|右|正百二十角形]]
'''百二十角形'''（ひゃくにじゅうかくけい、ひゃくにじゅうかっけい、hecatonicosagon）は、[[多角形]]の一つで、120本の[[辺]]と120個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は21240°、[[対角線]]の本数は7020本である。

== 正百二十角形 ==
正百二十角形においては、中心角と外角は3°で、内角は177°となる。一辺の長さが a の正百二十角形の面積 S は
:<math>S = \frac{120}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{120} \simeq 1145.65378 a^2</math>

<math>\cos (2\pi/120)</math>は有理数と平方根の組み合わせのみで表せる。
:<math>\cos\frac{2\pi}{120}=\cos\frac{\pi}{60}=\cos 3^\circ= \frac{2\left(1+\sqrt3\right)\sqrt{5+\sqrt5}+\left(\sqrt{10}-\sqrt2\right)\left(\sqrt3-1\right)}{16}= \frac{\sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}{2}</math>

=== 正弦、余弦の値 ===
:<math>\begin{align}
\sin 3^\circ =& \frac{\sqrt2 \left(\sqrt3+1 \right) \left(\sqrt{5}-1 \right) -2\left(\sqrt3 -1 \right)\sqrt{5+\sqrt5}}{16} \\
\cos 3^\circ =& \frac{\sqrt2 \left(\sqrt3-1 \right) \left(\sqrt{5}-1 \right) +2\left(\sqrt3 + 1 \right)\sqrt{5+\sqrt5}}{16} \\  
\end{align}</math>

=== 正百二十角形の作図 ===
正百二十角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が可能な図形である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[三角形]]
* [[四角形]]
* [[五角形]]
* [[六角形]]
* [[八角形]]
* [[十角形]]
* [[十二角形]]
* [[十五角形]]
* [[二十角形]]
* [[二十四角形]]
* [[三十角形]]
* [[四十角形]]
* [[六十角形]]
* [[二百四十角形]]
* [[三百六十角形]]
* [[六百角形]]
* [[七百二十角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:ひやくにしゆうかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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