百二十角形

百二十角形（ひゃくにじゅうかくけい、ひゃくにじゅうかっけい、hecatonicosagon）は、多角形の一つで、120本の辺と120個の頂点を持つ図形である。内角の和は21240°、対角線の本数は7020本である。

正百二十角形

正百二十角形においては、中心角と外角は3°で、内角は177°となる。一辺の長さが a の正百二十角形の面積 S は

S = \frac{120}{4} a^{2} \cot \frac{π}{120} ≃ 1145.65378 a^{2}

$\cos (2 π / 120)$ は有理数と平方根の組み合わせのみで表せる。

\cos \frac{2 π}{120} = \cos \frac{π}{60} = \cos 3^{\circ} = \frac{2 (1 + \sqrt{3}) \sqrt{5 + \sqrt{5}} + (\sqrt{10} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} - 1)}{16} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125} + 1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}{2}

\begin{matrix} \sin 3^{\circ} = & \frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} + 1) (\sqrt{5} - 1) - 2 (\sqrt{3} - 1) \sqrt{5 + \sqrt{5}}}{16} \\ \cos 3^{\circ} = & \frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} - 1) (\sqrt{5} - 1) + 2 (\sqrt{3} + 1) \sqrt{5 + \sqrt{5}}}{16} \end{matrix}

正百二十角形は定規とコンパスによる作図が可能な図形である。