百八十角形のソースを表示

'''百八十角形'''（ひゃくはちじゅうかくけい、ひゃくはちじゅうかっけい）は、[[多角形]]の一つで、180本の[[辺]]と180個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は32040°、[[対角線]]の本数は15930本である。

== 正百八十角形 ==
正百八十角形においては、中心角と外角は2°で、内角は178°となる。一辺の長さが a の正百八十角形の面積 S は
:<math>S = 45a^2 \cot \frac{\pi}{180}</math>

;関係式
:<math>\begin{align}
& x_1=2\cos\frac{2\pi}{180}+2\cos\frac{122\pi}{180}+2\cos\frac{118\pi}{180}=0  \\
& x_2=2\cos\frac{26\pi}{180}+2\cos\frac{146\pi}{180}+2\cos\frac{94\pi}{180}=0 \\
& x_3=2\cos\frac{14\pi}{180}+2\cos\frac{134\pi}{180}+2\cos\frac{106\pi}{180}=0 \\
& x_4=2\cos\frac{178\pi}{180}+2\cos\frac{58\pi}{180}+2\cos\frac{62\pi}{180}=0 \\
& x_5=2\cos\frac{98\pi}{180}+2\cos\frac{142\pi}{180}+2\cos\frac{22\pi}{180}=0 \\
& x_6=2\cos\frac{166\pi}{180}+2\cos\frac{46\pi}{180}+2\cos\frac{74\pi}{180}=0 \\
& x_7=2\cos\frac{34\pi}{180}+2\cos\frac{86\pi}{180}+2\cos\frac{154\pi}{180}=0 \\
& x_8=2\cos\frac{82\pi}{180}+2\cos\frac{38\pi}{180}+2\cos\frac{158\pi}{180}=0 \\
\end{align}</math>

三次方程式の係数を求めると
:<math>\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{180} \cdot 2\cos\frac{122\pi}{180}+2\cos\frac{122\pi}{180} \cdot 2\cos\frac{118\pi}{180}+2\cos\frac{118\pi}{180} \cdot 2\cos\frac{2\pi}{180} = -3 \\
& 2\cos\frac{2\pi}{180} \cdot 2\cos\frac{122\pi}{180} \cdot 2\cos\frac{118\pi}{180} = 2\cos\frac{2\pi}{60} \\
\end{align}</math>

解と係数の関係より
:<math>
u^3-3u-2\cos\frac{2\pi}{60}=0
</math>

三次方程式を解くと
:<math>\begin{align}
u_1=2\cos\frac{2\pi}{180} =& \sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{60}+i\sin\frac{2\pi}{60}}+\sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{60}-i\sin\frac{2\pi}{60}} \\
4\cos\frac{2\pi}{180} =& \sqrt[3]{8\cos\frac{2\pi}{60}+i8\sin\frac{2\pi}{60}}+\sqrt[3]{8\cos\frac{2\pi}{60}-i8\sin\frac{2\pi}{60}} \\
4\cos\frac{2\pi}{180} =& \sqrt[3]{\sqrt{10-\sqrt{20}}+\sqrt3+\sqrt{15}+i\cdot (\sqrt{30-\sqrt{180}}-\sqrt5-1)}+\sqrt[3]{\sqrt{10-\sqrt{20}}+\sqrt3+\sqrt{15}-i\cdot (\sqrt{30-\sqrt{180}}-\sqrt5-1)} \\
\end{align}</math>

<math>\cos (2\pi/180)</math>を平方根と立方根で表すと
:<math>
\cos\frac{2\pi}{180} = \frac14\sqrt[3]{\sqrt{10-\sqrt{20}}+\sqrt3+\sqrt{15}+\left( \sqrt{30-\sqrt{180}}-\sqrt5-1 \right)i}+\frac14\sqrt[3]{\sqrt{10-\sqrt{20}}+\sqrt3+\sqrt{15}-\left( \sqrt{30-\sqrt{180}}-\sqrt5-1 \right)i} </math>

=== 正百八十角形の作図 ===
正百八十角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正百八十角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[十五角形]]
* [[十八角形]]
* [[二十角形]]
* [[三十角形]]
* [[三十六角形]]
* [[四十五角形]]
* [[六十角形]]
* [[九十角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:ひやくはちしゆうかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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