百八十角形

百八十角形（ひゃくはちじゅうかくけい、ひゃくはちじゅうかっけい）は、多角形の一つで、180本の辺と180個の頂点を持つ図形である。内角の和は32040°、対角線の本数は15930本である。

正百八十角形

正百八十角形においては、中心角と外角は2°で、内角は178°となる。一辺の長さが a の正百八十角形の面積 S は

S = 45 a^{2} \cot \frac{π}{180}

関係式: $\begin{matrix} x_{1} = 2 \cos \frac{2 π}{180} + 2 \cos \frac{122 π}{180} + 2 \cos \frac{118 π}{180} = 0 \\ x_{2} = 2 \cos \frac{26 π}{180} + 2 \cos \frac{146 π}{180} + 2 \cos \frac{94 π}{180} = 0 \\ x_{3} = 2 \cos \frac{14 π}{180} + 2 \cos \frac{134 π}{180} + 2 \cos \frac{106 π}{180} = 0 \\ x_{4} = 2 \cos \frac{178 π}{180} + 2 \cos \frac{58 π}{180} + 2 \cos \frac{62 π}{180} = 0 \\ x_{5} = 2 \cos \frac{98 π}{180} + 2 \cos \frac{142 π}{180} + 2 \cos \frac{22 π}{180} = 0 \\ x_{6} = 2 \cos \frac{166 π}{180} + 2 \cos \frac{46 π}{180} + 2 \cos \frac{74 π}{180} = 0 \\ x_{7} = 2 \cos \frac{34 π}{180} + 2 \cos \frac{86 π}{180} + 2 \cos \frac{154 π}{180} = 0 \\ x_{8} = 2 \cos \frac{82 π}{180} + 2 \cos \frac{38 π}{180} + 2 \cos \frac{158 π}{180} = 0 \end{matrix}$

三次方程式の係数を求めると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{180} \cdot 2 \cos \frac{122 π}{180} + 2 \cos \frac{122 π}{180} \cdot 2 \cos \frac{118 π}{180} + 2 \cos \frac{118 π}{180} \cdot 2 \cos \frac{2 π}{180} = - 3 \\ 2 \cos \frac{2 π}{180} \cdot 2 \cos \frac{122 π}{180} \cdot 2 \cos \frac{118 π}{180} = 2 \cos \frac{2 π}{60} \end{matrix}

解と係数の関係より

u^{3} - 3 u - 2 \cos \frac{2 π}{60} = 0

三次方程式を解くと

\begin{matrix} u_{1} = 2 \cos \frac{2 π}{180} = & \sqrt[3]{\cos \frac{2 π}{60} + i \sin \frac{2 π}{60}} + \sqrt[3]{\cos \frac{2 π}{60} - i \sin \frac{2 π}{60}} \\ 4 \cos \frac{2 π}{180} = & \sqrt[3]{8 \cos \frac{2 π}{60} + i 8 \sin \frac{2 π}{60}} + \sqrt[3]{8 \cos \frac{2 π}{60} - i 8 \sin \frac{2 π}{60}} \\ 4 \cos \frac{2 π}{180} = & \sqrt[3]{\sqrt{10 - \sqrt{20}} + \sqrt{3} + \sqrt{15} + i \cdot (\sqrt{30 - \sqrt{180}} - \sqrt{5} - 1)} + \sqrt[3]{\sqrt{10 - \sqrt{20}} + \sqrt{3} + \sqrt{15} - i \cdot (\sqrt{30 - \sqrt{180}} - \sqrt{5} - 1)} \end{matrix}

$\cos (2 π / 180)$ を平方根と立方根で表すと

\cos \frac{2 π}{180} = \frac{1}{4} \sqrt[3]{\sqrt{10 - \sqrt{20}} + \sqrt{3} + \sqrt{15} + (\sqrt{30 - \sqrt{180}} - \sqrt{5} - 1) i} + \frac{1}{4} \sqrt[3]{\sqrt{10 - \sqrt{20}} + \sqrt{3} + \sqrt{15} - (\sqrt{30 - \sqrt{180}} - \sqrt{5} - 1) i}

正百八十角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正百八十角形は折紙により作図可能である。