百四十四角形のソースを表示

'''百四十四角形'''（ひゃくよんじゅうよんかくけい、ひゃくよんじゅうよんかっけい、hecatotetracontatetragon）は、[[多角形]]の一つで、144本の[[辺]]と144個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は25560°、[[対角線]]の本数は10152本である。

== 正百四十四角形 ==
正百四十四角形においては、中心角と外角は2.5°で、内角は177.5°となる。一辺の長さが a の正百四十四角形の面積 S は
:<math>S = 36a^2 \cot \frac{\pi}{144}</math>

;関係式
:<math>\begin{align}
& x_1=2\cos\frac{2\pi}{144}+2\cos\frac{98\pi}{144}+2\cos\frac{94\pi}{144}=0  \\
& x_2=2\cos\frac{14\pi}{144}+2\cos\frac{110\pi}{144}+2\cos\frac{82\pi}{144}=0 \\
& x_3=2\cos\frac{10\pi}{144}+2\cos\frac{86\pi}{144}+2\cos\frac{106\pi}{144}=0 \\
& x_4=2\cos\frac{70\pi}{144}+2\cos\frac{26\pi}{144}+2\cos\frac{122\pi}{144}=0 \\
& x_5=2\cos\frac{50\pi}{144}+2\cos\frac{142\pi}{144}+2\cos\frac{46\pi}{144}=0 \\
& x_6=2\cos\frac{62\pi}{144}+2\cos\frac{130\pi}{144}+2\cos\frac{34\pi}{144}=0 \\
& x_7=2\cos\frac{38\pi}{144}+2\cos\frac{134\pi}{144}+2\cos\frac{58\pi}{144}=0 \\
& x_8=2\cos\frac{22\pi}{144}+2\cos\frac{74\pi}{144}+2\cos\frac{118\pi}{144}=0 \\
\end{align}</math>

三次方程式の係数を求めると
:<math>\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{144} \cdot 2\cos\frac{98\pi}{144}+2\cos\frac{98\pi}{144} \cdot 2\cos\frac{94\pi}{144}+2\cos\frac{94\pi}{144} \cdot 2\cos\frac{2\pi}{144} = -3 \\
& 2\cos\frac{2\pi}{144} \cdot 2\cos\frac{98\pi}{144} \cdot 2\cos\frac{94\pi}{144} = 2\cos\frac{2\pi}{48} \\
\end{align}</math>

解と係数の関係より
:<math>
u^3-3u-2\cos\frac{2\pi}{48}=0
</math>

三次方程式を解くと
:<math>\begin{align}
u_1=2\cos\frac{2\pi}{144} =& \sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{48}+i\sin\frac{2\pi}{48}}+\sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{48}-i\sin\frac{2\pi}{48}} \\
4\cos\frac{2\pi}{144} =& \sqrt[3]{8\cos\frac{2\pi}{48}+i8\sin\frac{2\pi}{48}}+\sqrt[3]{8\cos\frac{2\pi}{48}-i8\sin\frac{2\pi}{48}} \\
4\cos\frac{2\pi}{144} =& \sqrt[3]{4\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}+i\cdot 4\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt3}}}+\sqrt[3]{4\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}-i\cdot 4\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt3}}} \\
\end{align}</math>

<math>\cos (2\pi/144)</math>を平方根と立方根で表すと
:<math>
\cos\frac{2\pi}{144} = \frac14\sqrt[3]{4\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}+i\cdot 4\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt3}}}+\frac14\sqrt[3]{4\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}-i\cdot 4\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt3}}}
</math>

=== 正百四十四角形の作図 ===
正百四十四角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正百四十四角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[十二角形]]
* [[十六角形]]
* [[十八角形]]
* [[二十四角形]]
* [[三十六角形]]
* [[四十八角形]]
* [[七十二角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:ひやくよんしゆうよんかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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