百四十四角形

百四十四角形（ひゃくよんじゅうよんかくけい、ひゃくよんじゅうよんかっけい、hecatotetracontatetragon）は、多角形の一つで、144本の辺と144個の頂点を持つ図形である。内角の和は25560°、対角線の本数は10152本である。

正百四十四角形

正百四十四角形においては、中心角と外角は2.5°で、内角は177.5°となる。一辺の長さが a の正百四十四角形の面積 S は

S = 36 a^{2} \cot \frac{π}{144}

関係式: $\begin{matrix} x_{1} = 2 \cos \frac{2 π}{144} + 2 \cos \frac{98 π}{144} + 2 \cos \frac{94 π}{144} = 0 \\ x_{2} = 2 \cos \frac{14 π}{144} + 2 \cos \frac{110 π}{144} + 2 \cos \frac{82 π}{144} = 0 \\ x_{3} = 2 \cos \frac{10 π}{144} + 2 \cos \frac{86 π}{144} + 2 \cos \frac{106 π}{144} = 0 \\ x_{4} = 2 \cos \frac{70 π}{144} + 2 \cos \frac{26 π}{144} + 2 \cos \frac{122 π}{144} = 0 \\ x_{5} = 2 \cos \frac{50 π}{144} + 2 \cos \frac{142 π}{144} + 2 \cos \frac{46 π}{144} = 0 \\ x_{6} = 2 \cos \frac{62 π}{144} + 2 \cos \frac{130 π}{144} + 2 \cos \frac{34 π}{144} = 0 \\ x_{7} = 2 \cos \frac{38 π}{144} + 2 \cos \frac{134 π}{144} + 2 \cos \frac{58 π}{144} = 0 \\ x_{8} = 2 \cos \frac{22 π}{144} + 2 \cos \frac{74 π}{144} + 2 \cos \frac{118 π}{144} = 0 \end{matrix}$

三次方程式の係数を求めると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{144} \cdot 2 \cos \frac{98 π}{144} + 2 \cos \frac{98 π}{144} \cdot 2 \cos \frac{94 π}{144} + 2 \cos \frac{94 π}{144} \cdot 2 \cos \frac{2 π}{144} = - 3 \\ 2 \cos \frac{2 π}{144} \cdot 2 \cos \frac{98 π}{144} \cdot 2 \cos \frac{94 π}{144} = 2 \cos \frac{2 π}{48} \end{matrix}

解と係数の関係より

u^{3} - 3 u - 2 \cos \frac{2 π}{48} = 0

三次方程式を解くと

\begin{matrix} u_{1} = 2 \cos \frac{2 π}{144} = & \sqrt[3]{\cos \frac{2 π}{48} + i \sin \frac{2 π}{48}} + \sqrt[3]{\cos \frac{2 π}{48} - i \sin \frac{2 π}{48}} \\ 4 \cos \frac{2 π}{144} = & \sqrt[3]{8 \cos \frac{2 π}{48} + i 8 \sin \frac{2 π}{48}} + \sqrt[3]{8 \cos \frac{2 π}{48} - i 8 \sin \frac{2 π}{48}} \\ 4 \cos \frac{2 π}{144} = & \sqrt[3]{4 \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} + i \cdot 4 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} + \sqrt[3]{4 \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} - i \cdot 4 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \end{matrix}

$\cos (2 π / 144)$ を平方根と立方根で表すと

\cos \frac{2 π}{144} = \frac{1}{4} \sqrt[3]{4 \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} + i \cdot 4 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} + \frac{1}{4} \sqrt[3]{4 \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} - i \cdot 4 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}

正百四十四角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正百四十四角形は折紙により作図可能である。