四十八角形

四十八角形（よんじゅうはちかくけい、よんじゅうはちかっけい、tetracontaoctagon）は、多角形の一つで、48本の辺と48個の頂点を持つ図形である。内角の和は8280°、対角線の本数は1080本である。

正四十八角形

正四十八角形においては、中心角と外角は7.5°で、内角は172.5°となる。一辺の長さが a の正四十八角形の面積 S は

S = \frac{48}{4} a^{2} \cot \frac{π}{48} ≃ 183.08462 a^{2}

\begin{matrix} S & = 12 a^{2} \cot \frac{π}{48} \\ = 12 a^{2} (2 + \sqrt{3} + \sqrt{8 + 4 \sqrt{3}} + \sqrt{16 + 8 \sqrt{3} + 2 \sqrt{104 + 60 \sqrt{3}}}) \\ = 12 a^{2} (2 + \sqrt{3} + (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{16 + 8 \sqrt{3} + 10 \sqrt{2} + 6 \sqrt{6}}) \\ = 12 a^{2} (2 + \sqrt{3} + (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + 2 \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{26 + 15 \sqrt{3}}}) . \end{matrix}

$\cos (2 π / 48)$ を有理数と平方根で表すことが可能である。

\cos \frac{2 π}{48} = \cos \frac{π}{24} = \cos (7 . 5^{\circ}) = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = \frac{1}{4} \sqrt{8 + 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}}

正四十八角形は定規とコンパスによる作図が可能な図形である。