直交関数列のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年6月}}
[[数学]]において'''直交関数列'''（ちょっこうかんすうれつ、{{lang-en-short|orthogonal functions}}）とは互いに[[直交]]する関数列の事である。

== 定義 ==
区間 {{math|(''&alpha;'', ''&beta;'') (−&infin; &le; ''&alpha;'' < ''&beta;'' &le; &infin;)}} 上で定義された複素数値関数 {{math|''f''(''x'')}}, {{math|''g''(''x'')}} に対し

:<math>
\langle f, g \rangle =\int_{\alpha}^{\beta} f(x) g^{\ast}(x) \, dx
</math>

は、[[積分]]が有限値として存在するならば、[[内積]]となる。

{{math|(''&alpha;'', ''&beta;'')}} 上の複素値関数の列 {{math|{{mset|''&phi;<sub>n</sub>''(''x'')}}}} が、この内積に対し、互いに[[直交]]し、

:<math>
\langle \phi_m, \phi_n \rangle =\int_{\alpha}^{\beta} \phi_m(x) \phi_{n}^{\ast}(x) \, dx = 0
\quad  (m \neq n)
</math>

であるとき、'''直交関数列'''であるという。

特に直交関数列のうち、[[ノルム]]が {{math|1}}、すなわち

:<math> \|\phi\|^2 = \int_{\alpha}^{\beta} |\phi_n (x)|^2  \, dx=1</math>

であるものものを'''正規直交関数列'''という。

また、実数値関数の列 {{math|{{mset|''&phi;<sub>n</sub>''(''x'' )}}}} とある関数 {{math|''w''(''x'') &ge; 0 }} に対し、{{math|{{mset|(''w''(''x''))<sup>1/2</sup>''&phi;<sub>n</sub>''(''x'')}}}} が直交関数列をなし、

:<math>
\int_{\alpha}^{\beta}\phi_m(x)\phi_n(x) w(x) \,dx = 0 \quad (m \neq n)
</math>

であるとき、この関数列を'''重み'''（荷重）{{math|''w''(''x'')}} の'''直交関数列'''という。

== 例 ==

=== 三角関数形 ===
;余弦関数系
1と[[余弦関数]]による列{1, cos''x'', cos2''x'', cos3''x'',…}は区間 [0, &pi;] で直交関数系を成す。

*<math>
\int_0^{\pi} 1 \, dx = \pi
</math>

*<math>
\int_0^{\pi} 1 \cdot \cos{nx}\, dx = 0 \quad (n= 1, 2, \dots)
</math>

*<math>
\int_0^{\pi} \cos{mx} \cdot \cos{nx}\, dx = \frac{\pi}{2}\delta_{mn} \quad (m, n= 1, 2, \dots)
</math>

;正弦関数系
[[正弦関数]]による列 {sin''x'', sin2''x'', sin3''x'',…} は区間 [0, &pi;] で直交関数系を成す。

*<math>
\int_0^{\pi} \sin{mx} \cdot \sin{nx}\, dx = \frac{\pi}{2}\delta_{mn} \quad (m, n= 1, 2, \dots)
</math>

;三角関数系
{1, cos''x'', sin''x'', cos2''x'', sin''2x'',…} は [-&pi;, &pi;] で直交関数系を成す。

*<math>
\int_{-\pi}^{\pi} 1 \, dx = 2\pi
</math>

*<math>
\int_{-\pi}^{\pi} \cos{mx} \cdot \cos{nx}\, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sin{mx} \cdot \sin{nx}\, dx 
= \pi \delta_{mn} \quad (m,n= 1, 2, \dots)
</math>

*<math>
\int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot  \cos{nx}\, dx = \int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot  \sin{nx}\, dx 
= 0 \quad (n= 1, 2, \dots)
</math>

*<math>
\int_{-\pi}^{\pi} \cos{mx} \cdot \sin{nx}\, dx = 0 \quad (m,n= 1, 2, \dots)
</math>

=== 直交多項式 ===
{{main|直交多項式}}
==== エルミート多項式 ====
関係式

:<math>
H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2} \frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2} \quad (n=0,1,2,\dots)
</math>　　

で定義される[[エルミート多項式]]は区間 (−&infin;, &infin;) 上の重み ''e''<sup>−''x''<sup>2</sup>/2</sup> の直交関数系であり、

:<math>
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} H_m(x)H_n(x) \, dx= n! \sqrt{2\pi} \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\dots)
</math>　　

を満たす。

==== ルジャンドル多項式 ====
関係式

:<math>
P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \quad (n=0,1,2,\dots)
</math>　　

で定義される[[ルジャンドル多項式]]は区間 [−1, 1] 上の直交関数系であり、

:<math>
\int_{-1}^1 P_m(x)P_n(x) \, dx= \frac{2}{2n+1} \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\dots)
</math>　　

を満たす。

==== ラゲール多項式 ====
関係式

:<math>
L_n(x)=\frac{e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^n e^{-x}) \quad (n=0,1,2,\dots)
</math>　　

で定義される[[ラゲール多項式]]は区間 [0, &infin;) 上の重み ''e''<sup>−''x''</sup> の直交関数系を成し、

:<math>
\int_{0}^{\infty} e^{-x} L_m(x)L_n(x) \, dx=  \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\dots)
</math>　　

を満たす。

==== チェビシェフ多項式 ====
関係式

:<math>
T_n(x)=\cos{(n \operatorname{arccos}x)} \quad (n=0,1,2,\dots)
</math>　　

で定義される[[チェビシェフ多項式]]は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − ''x''<sup>2</sup>)<sup>−1/2</sup> の直交関数系を成し、

:<math>
\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  T_m(x)T_n(x) \, dx=  \frac{\pi}{2} \delta_{mn} \quad (m,n = 0,1,2,\dots)
</math>　　

を満たす。

==== ゲーゲンバウアー多項式 ====
関係式

:<math>C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{(-2)^n}{n!}
\frac{\Gamma(n+\alpha)\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2n+2\alpha)}
(1-x^2)^{-\alpha+1/2}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x^2)^{n+\alpha-1/2}\right]</math>　　

で定義される[[ゲーゲンバウアー多項式]]は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − ''x''<sup>2</sup>)<sup>''&alpha;'' − 1/2</sup> の直交関数系を成し、

:<math>
\int_{-1}^1 (1-x^2)^{\alpha-\frac{1}{2}} C_m^{(\alpha)}(x)C_n^{(\alpha)}(x)  \, dx=  \frac{\pi 2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2} \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\dots)
</math>　　

を満たす。

== 完備関数列 ==
直交関数列で、
:<math>\int_{\alpha}^{\beta}f(x)e_n(x)dx=0\quad(n=1,2,\dots)\quad\Longrightarrow\quad f(x)=0</math>
となるもののことを言う。

=== 例 ===
<math>\{1,\cos(x),\cos(2x),\cos(3x),\dots,\sin(x),\sin(2x),\sin(3x),\dots\}</math> （'''三角関数列'''）

== 関連項目 ==
*[[フーリエ級数]]
*[[ルジャンドル多項式]]
*[[エルミート多項式]]

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[[Category:解析学]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:関数の種類]]
[[Category:数学に関する記事]]