直交関数列

テンプレート:出典の明記 数学において直交関数列（ちょっこうかんすうれつ、テンプレート:Lang-en-short）とは互いに直交する関数列の事である。

定義

区間 テンプレート:Math 上で定義された複素数値関数 テンプレート:Math, テンプレート:Math に対し

$⟨f,g⟩=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x)g^{\ast }(x)dx$

は、積分が有限値として存在するならば、内積となる。

テンプレート:Math 上の複素値関数の列 テンプレート:Math が、この内積に対し、互いに直交し、

$⟨{\varphi }_m,{\varphi }_n⟩=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{\varphi }_m(x){\varphi }_n^{\ast }(x)dx=0(m\ne n)$

であるとき、直交関数列であるという。

特に直交関数列のうち、ノルムが テンプレート:Math、すなわち

$\Vert \varphi {\Vert }^2=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}|{\varphi }_n(x){|}^{2}dx=1$

であるものものを正規直交関数列という。

また、実数値関数の列 テンプレート:Math とある関数 テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math が直交関数列をなし、

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{\varphi }_m(x){\varphi }_n(x)w(x)dx=0(m\ne n)$

であるとき、この関数列を重み（荷重）テンプレート:Math の直交関数列という。

例

三角関数形

余弦関数系

1と余弦関数による列{1, cosx, cos2x, cos3x,…}は区間 [0, π] で直交関数系を成す。

• $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}1dx=\pi$

• $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}1\cdot \cos nxdx=0(n=1,2,\dots )$

• $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos mx\cdot \cos nxdx=\frac{\pi }{2}{\delta }_{mn}(m,n=1,2,\dots )$

正弦関数系

正弦関数による列 {sinx, sin2x, sin3x,…} は区間 [0, π] で直交関数系を成す。

• $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin mx\cdot \sin nxdx=\frac{\pi }{2}{\delta }_{mn}(m,n=1,2,\dots )$

三角関数系

{1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…} は [-π, π] で直交関数系を成す。

• $\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}1dx=2\pi$

• $\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos mx\cdot \cos nxdx=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin mx\cdot \sin nxdx=\pi {\delta }_{mn}(m,n=1,2,\dots )$

• $\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}1\cdot \cos nxdx=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}1\cdot \sin nxdx=0(n=1,2,\dots )$

• $\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos mx\cdot \sin nxdx=0(m,n=1,2,\dots )$

直交多項式

エルミート多項式

関係式

$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2/2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2/2}(n=0,1,2,\dots )$　　

で定義されるエルミート多項式は区間 (−∞, ∞) 上の重み e^−x2/2 の直交関数系であり、

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2/2}{H}_m(x)H_n(x)dx=n!\sqrt{2\pi }{\delta }_{mn}(m,n=0,1,2,\dots )$　　

を満たす。

ルジャンドル多項式

関係式

$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n(n=0,1,2,\dots )$　　

で定義されるルジャンドル多項式は区間 [−1, 1] 上の直交関数系であり、

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_m(x)P_n(x)dx=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn}(m,n=0,1,2,\dots )$　　

を満たす。

ラゲール多項式

関係式

$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^n{e}^{-x})(n=0,1,2,\dots )$　　

で定義されるラゲール多項式は区間 [0, ∞) 上の重み e^−x の直交関数系を成し、

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{L}_m(x)L_n(x)dx={\delta }_{mn}(m,n=0,1,2,\dots )$　　

を満たす。

チェビシェフ多項式

関係式

$T_n(x)=\cos (n\arccos x)(n=0,1,2,\dots )$　　

で定義されるチェビシェフ多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x²)^−1/2 の直交関数系を成し、

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}{T}_m(x)T_n(x)dx=\frac{\pi }{2}{\delta }_{mn}(m,n=0,1,2,\dots )$　　

を満たす。

ゲーゲンバウアー多項式

関係式

$C_n^{(\alpha )}(x)=\frac{(-2{)}^n}{n!}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha )\mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(2n+2\alpha )}(1-x^2{)}^{-\alpha +1/2}\frac{d^n}{d{x}^n}[(1-x^2{)}^{n+\alpha -1/2}]$　　

で定義されるゲーゲンバウアー多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x²)^{α − 1/2} の直交関数系を成し、

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(1-x^2{)}^{\alpha -\frac{1}{2}}{C}_m^{(\alpha )}(x)C_n^{(\alpha )}(x)dx=\frac{\pi 2^{1-2\alpha }\mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\mathrm{\Gamma }(\alpha ){]}^2}{\delta }_{mn}(m,n=0,1,2,\dots )$　　

を満たす。

完備関数列

直交関数列で、

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x)e_n(x)dx=0(n=1,2,\dots )⟹f(x)=0$

となるもののことを言う。

例

$\{1,\cos (x),\cos (2x),\cos (3x),\dots ,\sin (x),\sin (2x),\sin (3x),\dots \}$ （三角関数列）

関連項目

• フーリエ級数
• ルジャンドル多項式
• エルミート多項式