相対的内部のソースを表示

[[数学]]において、[[集合]]の'''相対的内部'''（そうたいてきないぶ、{{Lang-en-short|relative interior}}）は、集合の[[内部 (位相空間論)|内部]]の概念を精錬したもので、高次元空間内の低次元集合を扱う際にしばしば有用となる。直観的に、与えられた集合の相対的内部とは、その集合の（その集合を含む最小の部分空間に相対する意味での）「へり」にない全ての点からなる。

厳密には、集合 {{mvar|S}} の相対的内部 {{math|relint(''S'')}} は、{{mvar|S}} の[[アフィン包]]の中で考えた {{mvar|S}} の[[内部 (位相空間論)|内部]]<ref name="Zalinescu">{{cite book|last=Zălinescu|first=C.|title=Convex analysis in general vector spaces|publisher=World Scientific Publishing&nbsp; Co.,&nbsp;Inc|location=River Edge,&nbsp;NJ|year= 2002|pages=2–3|isbn=981-238-067-1|mr=1921556}}</ref>、すなわち

:<math>\operatorname{relint}(S) := \{ x \in S : \exists\epsilon > 0, N_\epsilon(x) \cap \operatorname{aff}(S) \subseteq S \}</math>

として定義される。ここで {{math|aff(''S'')}} は {{mvar|S}} のアフィン包であり、{{math|''N''{{sub|&epsilon;}}(''x'')}} は {{mvar|x}} を中心とする半径 {{mvar|&epsilon;}} の[[球体|球]]である。球の構成には任意の距離を用いてよい（即ち、すべての距離函数が相対的内部として同じ集合を定義する）。

任意の空でない[[凸集合]] {{math|''C'' &sube; '''R'''{{sup|''n''}} }}に対して、相対的内部は次で定義される。

:<math>\operatorname{relint}(C) := \{x \in C : \forall {y \in C} \; \exists {\lambda > 1}: \lambda x + (1-\lambda)y \in C\}</math><ref>{{cite book|author=[[:en:Rockafellar, R. Tyrrell|Rockafellar, R. Tyrrell]]|title=Convex Analysis|publisher=Princeton University Press|location=Princeton, NJ|year=1997|origyear=1970|isbn=978-0-691-01586-6|page=47}}</ref><ref>{{cite book|author=[[:en:Dimitri Bertsekas|Dimitri Bertsekas]]|title=Nonlinear Programming|publisher=Athena Scientific|location=Belmont, Massachusetts|edition=2|year=1999|isbn=978-1-886529-14-4|page=697}}</ref>.

== 関連項目 ==
* [[内部 (位相空間論)]]
* [[代数的内部]]
* [[準相対的内部]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
* {{cite book
  | last = Boyd
  | first = Stephen
  |author2=Lieven Vandenberghe
   | title = Convex Optimization
  | publisher = Cambridge University Press
  | year = 2004
  | location = Cambridge
  | url = http://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/
  | isbn = 0-521-83378-7
  | page = 23 }}

{{DEFAULTSORT:そうたいてきないふ}}
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]