相対論的力学のソースを表示

'''相対論的力学'''（そうたいろんてきりきがく、{{en|relativistic mechanics}}）とは、[[特殊相対性理論]]、および[[一般相対性理論]]に基づく[[古典力学]]である。

この記事では[[計量テンソル]]の[[符号の規約]]として {{math|(&minus;, +, ... ,+)}} を採用する。

== 運動学 ==
[[ニュートン力学]]において[[粒子]]の[[運動 (物理学)|運動]]は、[[時間|時刻]] {{mvar|t}} を[[媒介変数]]とする粒子の[[位置]]の[[関数 (数学)|関数]] {{math|1= '''''x''''' = '''''r'''''(''t'')}} として表される。つまり、粒子の運動を表すことは時々刻々の位置を追うことである。
相対論においては時間が空間とともに[[4元ベクトル]]として振る舞うので、運動のパラメータとして時間を用いると、[[ローレンツ変換]]の下での共変性が明白ではなくなる。すなわち、相対論において時間は運動を記述する自然なパラメータではなくなる。そもそも相対論には自然なパラメータが存在せず、パラメータの付替えの下で相対論は不変である<ref>[[#zwiebach|Zweibach]] pp.91-92</ref><ref name="hosomichi">[[#hosomichi|細道]] pp.6-8</ref>。なお、明白なローレンツ共変性を犠牲にすれば、時間を運動のパラメータとして選ぶこともできる。

適当な運動のパラメータを {{mvar|&lambda;}} として、粒子の位置を
{{Indent|
<math>x = X(\lambda)</math>
}}
で表す。

パラメータの付替え {{math|1=''&lambda;'' &rarr; {{mvar|&lambda;'}} = ''f''(''&lambda;'')}} が適当である条件として、旧いパラメータ {{mvar|&lambda;}} の増加に伴って、新たなパラメータ {{mvar|&lambda;'}} も[[単調写像|単調に増加]]する必要があり
{{Indent|
<math>\frac{d\lambda'}{d\lambda} =\dot{f}(\lambda) \ge 0</math>
}}
である。特に、[[光速]] {{mvar|c}} を用い、時間 {{math|1=''t'' = ''X''{{sup|0}}/''c''}} を運動のパラメータとして選ぶことができるので
{{Indent|
<math>\frac{dt}{d\lambda} =\frac{1}{c} \dot{X}^0(\lambda) \ge 0</math>
}}
である。

=== 4元速度と固有時間 ===
ニュートン力学においては、位置の時間[[導関数]]として[[速度]]が定義された。
相対論においては自然なパラメータが存在しないため、導関数 <math>\dot{X}</math> は物理的意味を持たない。
すなわちパラメータの付替えに対して、導関数は[[連鎖律]]により
{{Indent|
<math>\dot{X}(\lambda)=\frac{dX}{d\lambda} \to \frac{dX}{d\lambda'} =\frac{dX}{d\lambda} \bigg/ \frac{d\lambda'}{d\lambda}</math>
}}
と変化するので、{{mvar|d&lambda;'/d&lambda;}} の分だけ変化する。
この変化を相殺するように、[[4元速度]]は
{{Indent|
<math>U^\mu(\lambda) =\frac{c \dot{X}^\mu(\lambda)}{\sqrt{-\dot{X}^\nu \dot{X}_\nu}}</math>
}}
で定義される。定義から明らかに {{math|1={{mvar|U{{sup|&mu;}}U{{sub|&mu;}}}} = &minus;{{mvar|c}}{{sup|2}}}} である<ref name="landau_s7"/>。

運動のパラメータとして時間 {{mvar|t}} を用いれば
{{Indent|
<math>U^0(t) =\frac{c}{\sqrt{1-v^2/c^2}},</math>
}}
{{Indent|
<math>\boldsymbol{U}(t) =\frac{\boldsymbol{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}</math>
}}
と表わされる<ref name="landau_s7">[[#landau|ランダウ, リフシッツ]] p.25, &sect;7</ref>。
[[ローレンツ因子]] {{mvar|&gamma;}} を用いれば
{{Indent|
<math>U^\mu(t) =(\gamma c,\gamma\boldsymbol{v})</math>
}}
である。

[[固有時間]]は
{{Indent|
<math>\frac{d\tau}{d\lambda} =\frac{1}{c} \sqrt{-\dot{X}^\mu \dot{X}_\mu}</math>
}}
で定義される<ref name="landau_s3">[[#landau|ランダウ, リフシッツ]] pp.8-10, &sect;3</ref>。固有時間 {{mvar|&tau;}} を用いれば4元速度は
{{Indent|
<math>U^\mu(\tau) =\frac{dX^\mu}{d\tau}</math>
}}
と表される<ref name="landau_s7"/>。

== 動力学 ==
=== 4元運動量 ===
[[質量]] {{mvar|m}} の粒子の[[4元運動量]]は
{{Indent|
<math>p^\mu(\lambda) =mU^\mu(\lambda)</math>
}}
で与えられる<ref name="landau_s9">[[#landau|ランダウ, リフシッツ]] pp.31-32, &sect;9</ref>。4元速度の定義から {{math|1={{mvar|p{{sup|&mu;}}p{{sub|&mu;}}}} = &minus;{{mvar|m}}{{sup|2}}{{mvar|c}}{{sup|2}}}} である。この関係式は[[オンシェルとオフシェル|質量殻条件]]（{{en|mass-shell condition}}）と呼ばれる。
{{Main|4元運動量}}

=== 相対論的運動方程式と4元力 ===
[[ニュートンの運動方程式]]により、ニュートン力学における[[力 (物理学)|力]]は運動量の時間導関数と関係付けられた。
相対論においては自然なパラメータが存在しないため、導関数 <math>\dot{p}</math> は物理的意味を持たない。
そこで運動のパラメータとして固有時間 {{mvar|&tau;}} を選び、相対論的な粒子の運動方程式を
{{Indent|
<math>\frac{dp^\mu}{d\tau} =K^\mu(\tau)</math>
}}
と表わす。このときの {{mvar|K}} が4元力である<ref name="landau_s9"/><ref>[[#matsubara|松原]] pp.10-13</ref>。

適当なパラメータ {{mvar|&lambda;}} を用いた場合は連鎖律により
{{Indent|
<math>\dot{p}^\mu(\lambda) =\frac{K^\mu(\lambda)}{c} \sqrt{-\dot{X}^\mu \dot{X}_\mu}</math>
}}
で表される。

== ラグランジュ形式 ==
=== 平坦な時空の自由粒子 ===
平坦な時空における相対論的な自由粒子の作用汎関数は
{{Indent|
<math>S_X[X,e] =\int L_X(\dot{X},e)\, d\lambda</math>
}}
{{Indent|
<math>L_X(\dot{X},e) =\frac{e}{2} \left[ e^{-2} \dot{X}^\mu \dot{X}_\mu(\lambda) -m^2c^2 \right]</math>
}}
で書かれる<ref name="hosomichi"/>。ここで {{mvar|e}} は[[ラグランジュ関数]]に導関数が含まれない補助変数である。パラメータ付替えの下で
{{Indent|
<math>e(\lambda)\, d\lambda \to e'(\lambda')\, d\lambda'</math>
}}
と変換して、作用汎関数のパラメータ付替え不変性を保障する<ref name="hosomichi"/>。

力学変数 {{mvar|X}} に共役な運動量は
{{Indent|
<math>P_\mu(\lambda) =\frac{\partial L_X}{\partial\dot{X}^\mu} =e^{-1}\dot{X}_\mu(\lambda)</math>
}}
であり、運動方程式として
{{Indent|
<math>\frac{\delta S_X[X,e]}{\delta X^\mu(\lambda)} =-\dot{P}_\mu(\lambda) =0</math>
}}
が導かれて、自由粒子の運動量は保存する。

==== 拘束条件 ====
補助変数 {{mvar|e}} から導かれる拘束条件として質量殻条件
{{Indent|
<math>\frac{\delta S_X[X,e]}{\delta e(\lambda)}
 =-\frac{1}{2}\left[ e^{-2} \dot{X}^\mu \dot{X}_\mu(\lambda) +m^2c^2 \right]
 =-\frac{1}{2} \left[ P^2(\lambda) +m^2 c^2 \right] =0</math>
}}
が得られる。質量 {{mvar|m}} がゼロでないときには
{{Indent|
<math>e(\lambda) =\frac{1}{mc}\sqrt{-\dot{X}^\mu \dot{X}_\mu}</math>
}}
となって共役運動量は4元運動量に一致する<ref name="hosomichi"/>。

拘束条件を用いてラグランジュ関数から補助変数 {{mvar|e}} を消去すれば
{{Indent|
<math>L_X(\dot{X}) =-mc\sqrt{-\dot{X}^\mu \dot{X}_\mu} =-mc^2 \frac{d\tau}{d\lambda}</math>
}}
であり、作用汎関数は
{{Indent|
<math>S_X[X] =-mc\int \sqrt{-\dot{X}^\mu \dot{X}_\mu} d\lambda =-mc^2 \int d\tau</math>
}}
となり、粒子が時空上に描く[[世界線]]の長さに比例する。

==== 複数粒子系 ====
複数の粒子がある場合は、粒子を区別する添え字 {{mvar|i}} を導入し、各々の粒子の位置 {{mvar|X{{sub|i}}}} に対する作用汎関数を足し合わせることで相互作用のない自由粒子系の作用汎関数が得られる。すなわち
{{Indent|
<math>S_X[X,e] =\frac{1}{2} \int \sum_{i\in I} \left[ e_i^{-2} \dot{X}_i^\mu \dot{X}_{i\mu} -m_i^2c^2 \right] e_i\, d\lambda</math>
}}
である。補助変数 {{mvar|e}} は粒子 {{mvar|i}} ごとに導入される。拘束条件として各々の粒子ごとに質量殻条件が得られて、これを用いて補助変数を消去すれば
{{Indent|
<math>\begin{align}
S_X[X] &=-\sum_{i\in I} m_i c\int \sqrt{-\dot{X}_i^\mu \dot{X}_{i\mu}} d\lambda \\
 &=-\sum_{i\in I} m_i c^2 \int d\tau_i \\
\end{align}</math>
}}
となる。

=== 曲がった時空の自由粒子 ===
曲がった時空においては時空点に依存する計量 {{mvar|g}} を導入して
{{Indent|
<math>L_X(X,\dot{X},e) =\frac{e}{2} \left[ e^{-2} g_{\mu\nu}(X) \dot{X}^\mu \dot{X}^\nu(\lambda) -m^2c^2 \right]</math>
}}
となる<ref name="hosomichi"/>。作用は計量を置き換えただけであり、平坦な時空の場合と変わらず拘束条件として質量殻条件が導かれる。

共役運動量は質量殻条件を用いれば
{{Indent|
<math>P_\mu(\lambda) =\frac{\partial L_X}{\partial\dot{X}^\mu}
 =g_{\mu\nu}(X)\, p^\nu(\lambda)</math>
}}
となり、運動方程式は
{{Indent|
<math>\begin{aligned}
 \frac{\delta S[X,e]}{\delta X^\mu(\lambda)}
 &= \frac{e^{-1}}{2} \partial_\mu g_{\rho\nu}(X)\dot{X}^\rho \dot{X}^\nu(\lambda) -\dot{P}_\mu(\lambda) \\
 &= -e^{-1} \varGamma_{\mu\rho\nu}(X) \dot{X}^\rho \dot{X}^\nu(\lambda) -g_{\mu\nu}(X)\, \dot{p}^\nu(\lambda) \\
 &=0 \\
\end{aligned}</math>
}}
{{Indent|
<math>\dot{p}^\mu(\lambda) +e^{-1} \varGamma^\mu_{\rho\nu}(X) \dot{X}^\rho \dot{X}^\nu(\lambda) =0</math>
}}
として[[測地線の方程式]]が導かれる。従って、曲がった時空における[[慣性力]]、あるいは[[重力]]の4元力は
{{Indent|
<math>K^\mu(\lambda) =-m\varGamma^\mu_{\rho\nu}(X) U^\rho U^\nu(\lambda)</math>
}}
となる。ここで {{mvar|&Gamma;}} は[[レヴィ・チヴィタ接続|接続係数]]
{{Indent|
<math>\varGamma^\mu_{\rho\nu}(x) =\frac{1}{2} g^{\mu\sigma} \left[
 \partial_\rho g_{\nu\sigma}(x) +\partial_\nu g_{\rho\sigma}(x) -\partial_\sigma g_{\rho\nu}(x) \right]</math>
}}
である。

=== ベクトル場との相互作用 ===
ベクトル場 {{mvar|A}} と最小結合の形で相互作用する粒子は、相互作用項が
{{Indent|
<math>S_\text{int}[X] =\int L_\text{int}(X,\dot{X})\, d\lambda</math>
}}
{{Indent|
<math>L_\text{int}(X,\dot{X}) =qA_\mu(X)\, \dot{X}^\mu(\lambda)</math>
}}
で書かれる<ref name="hosomichi"/>。相互作用項は補助変数 {{mvar|e}} を含まないため拘束条件に影響せず、自由粒子の場合と変わらず質量殻条件が導かれる。

共役運動量は質量殻条件を用いれば
{{Indent|
<math>P_\mu(\lambda) =\frac{\partial}{\partial\dot{X}^\mu}(L_X+L_\text{int})
 =p_\mu(\lambda) +qA_\mu(X)</math>
}}
となり、自由粒子の4元運動量にベクトル場が加えられた形となる。
平坦な時空では運動方程式として
{{Indent|
<math>\begin{aligned}
\frac{\delta S[X]}{\delta X^\mu(\lambda)}
 &= q\partial_\mu A_\nu(X) \dot{X}^\nu(\lambda)-\dot{P}_\mu(\lambda) \\
 &= qF_{\mu\nu}(X) \dot{X}^\nu(\lambda) -\dot{p}_\mu(\lambda) \\
 &= 0 \\
\end{aligned}</math>
}}
{{Indent|
<math>\dot{p}_\mu(\lambda) =qF_{\mu\nu}(X) \dot{X}^\nu(\lambda)</math>
}}
が導かれる。ベクトル場が[[電磁場]]である場合は、これは[[ローレンツ力]]であり、4元力は
{{Indent|
<math>K^\mu(\lambda) =qF^\mu{}_\nu(X) U^\nu(\lambda)</math>
}}
となる。ここで {{mvar|F}} はベクトル場の強度
{{Indent|
<math>F_{\mu\nu}(x) =\partial_\mu A_\nu(x) -\partial_\nu A_\mu(x)</math>
}}
であり、電磁場の場合は[[電磁場テンソル]]に相当する。

曲がった時空での運動方程式は
{{Indent|
<math>\dot{p}^\mu(\lambda) +e^{-1} \varGamma^\mu_{\rho\nu}(X) \dot{X}^\rho \dot{X}^\nu(\lambda)
 =qF^\mu{}_\nu(X) \dot{X}^\nu(\lambda)</math>
}}
となる。テンソル添字は時空の計量を用いて
{{Indent|
<math>F^\mu{}_\nu(x) =g^{\mu\rho}(x)\, F_{\rho\nu}(x)</math>
}}
により上げ下げされる。
{{See also|古典電磁気学の共変定式}}

== ハミルトン形式 ==
自由粒子の[[ハミルトン関数]]は、平坦な時空においては
{{Indent|
<math>H_X(P,e) =P_\mu \dot{X}^\mu(\lambda) -L_X =\frac{e}{2} \left[ P^\mu P_\mu(\lambda) +m^2c^2 \right]</math>
}}
となり、曲がった時空においては
{{Indent|
<math>H_X(X,P,e) =\frac{e}{2} \left[ g_{\mu\nu}(X) P^\mu P^\nu(\lambda) +m^2c^2 \right]</math>
}}
となる。

ベクトル場 {{mvar|A}} と相互作用する粒子のハミルトン関数は
{{Indent|
<math>H(X,P,e) =\frac{e}{2} \left[ (P^\mu -qA^\mu)(P_\mu -qA_\mu) +m^2c^2 \right]</math>
}}
となる。

=== 特異ラグランジュ系からの移行 ===
補助変数 {{mvar|e}} はラグランジュ関数に導関数が含まれないため、共役運動量が
{{Indent|
<math>P_e(\lambda) =\frac{\partial L_X}{\partial\dot{e}} =0</math>
}}
となり、<math>\dot{e}</math> について解けない特異ラグランジュ系である。この特異系には一次拘束条件 <math>\phi =P_e \approx 0</math> が課されている。

特異ラグランジュ系からハミルトン系へ移行するとき、ハミルトン関数は一意に定まらず、未定乗数 {{mvar|b}} を導入して
{{Indent|
<math>H_\text{tot} =e\chi +b\phi</math>
}}
と書かれる。拘束関数 <math>\phi=P_e</math> の導関数は[[ポアソン括弧]]により
{{Indent|
<math>\dot{\phi} = \{ H_\text{tot}, P_e \} =\{ e,P_e \}\cdot \chi +\{ b,P_e \}\cdot \phi
 \approx -\chi</math>
}}
であり、拘束条件が常に満たされるためには、新たに二次拘束条件として <math>\chi =-\dot{\phi} \approx 0</math> が課される。この拘束条件は質量殻条件である。
新たな拘束関数の導関数は
{{Indent|
<math>\dot{\chi} = \{ H_\text{tot}, \chi \} =\{ b,\chi \}\cdot \phi \approx 0</math>
}}
であり、これ以上の二次拘束条件は課されない。

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
 |author= [[レフ・ランダウ|L.D.ランダウ]], [[エフゲニー・リフシッツ|E.M.リフシッツ]]
 |title= 場の古典論
 |series= [[理論物理学教程]]
 |publisher= [[東京図書]]
 |year= 1978
 |isbn= 4-489-01161-X
 |ref= landau
}}
* {{Cite book|和書
 |author= B. Zwiebach
 |title= 初級講座 弦理論《初級編》
 |publisher= 丸善出版
 |year= 2013
 |isbn= 978-4-86345-177-3
 |ref= zwiebach
}}
* {{Cite book|和書
 |author= 松原隆彦
 |title= 宇宙論の物理 |volume= 上巻
 |publisher= 東京大学出版会
 |year= 2014
 |isbn= 978-4-13-062615-6
 |ref= matsubara
}}
* {{Cite book|和書
 |author= 細道和夫
 |title= 弦とブレーン
 |series= Yukawaライブラリー
 |publisher= 朝倉書店
 |year= 2017
 |isbn= 978-4-254-13802-3
 |ref= hosomichi
}}

== 関連項目 ==
* [[特殊相対性理論]] - [[一般相対性理論]]
* [[古典電磁気学の共変定式]]
* [[相対論的量子力学]]

{{DEFAULTSORT:そうたいろんてきりきがく}}
[[Category:特殊相対性理論]]