相対論的力学

相対論的力学（そうたいろんてきりきがく、テンプレート:En）とは、特殊相対性理論、および一般相対性理論に基づく古典力学である。

この記事では計量テンソルの符号の規約として テンプレート:Math を採用する。

運動学

ニュートン力学において粒子の運動は、時刻 テンプレート:Mvar を媒介変数とする粒子の位置の関数 テンプレート:Math として表される。つまり、粒子の運動を表すことは時々刻々の位置を追うことである。 相対論においては時間が空間とともに4元ベクトルとして振る舞うので、運動のパラメータとして時間を用いると、ローレンツ変換の下での共変性が明白ではなくなる。すなわち、相対論において時間は運動を記述する自然なパラメータではなくなる。そもそも相対論には自然なパラメータが存在せず、パラメータの付替えの下で相対論は不変である。なお、明白なローレンツ共変性を犠牲にすれば、時間を運動のパラメータとして選ぶこともできる。

適当な運動のパラメータを テンプレート:Mvar として、粒子の位置を テンプレート:Indent で表す。

パラメータの付替え テンプレート:Math が適当である条件として、旧いパラメータ テンプレート:Mvar の増加に伴って、新たなパラメータ テンプレート:Mvar も単調に増加する必要があり テンプレート:Indent である。特に、光速 テンプレート:Mvar を用い、時間 テンプレート:Math を運動のパラメータとして選ぶことができるので テンプレート:Indent である。

4元速度と固有時間

ニュートン力学においては、位置の時間導関数として速度が定義された。 相対論においては自然なパラメータが存在しないため、導関数 $\dot{X}$ は物理的意味を持たない。 すなわちパラメータの付替えに対して、導関数は連鎖律により テンプレート:Indent と変化するので、テンプレート:Mvar の分だけ変化する。 この変化を相殺するように、4元速度は テンプレート:Indent で定義される。定義から明らかに テンプレート:Math である。

運動のパラメータとして時間 テンプレート:Mvar を用いれば テンプレート:Indent テンプレート:Indent と表わされる。 ローレンツ因子 テンプレート:Mvar を用いれば テンプレート:Indent である。

固有時間は テンプレート:Indent で定義される。固有時間 テンプレート:Mvar を用いれば4元速度は テンプレート:Indent と表される。

動力学

4元運動量

質量 テンプレート:Mvar の粒子の4元運動量は テンプレート:Indent で与えられる。4元速度の定義から テンプレート:Math である。この関係式は質量殻条件（テンプレート:En）と呼ばれる。 テンプレート:Main

相対論的運動方程式と4元力

ニュートンの運動方程式により、ニュートン力学における力は運動量の時間導関数と関係付けられた。 相対論においては自然なパラメータが存在しないため、導関数 $\dot{p}$ は物理的意味を持たない。 そこで運動のパラメータとして固有時間 テンプレート:Mvar を選び、相対論的な粒子の運動方程式を テンプレート:Indent と表わす。このときの テンプレート:Mvar が4元力である。

適当なパラメータ テンプレート:Mvar を用いた場合は連鎖律により テンプレート:Indent で表される。

ラグランジュ形式

平坦な時空の自由粒子

平坦な時空における相対論的な自由粒子の作用汎関数は テンプレート:Indent テンプレート:Indent で書かれる。ここで テンプレート:Mvar はラグランジュ関数に導関数が含まれない補助変数である。パラメータ付替えの下で テンプレート:Indent と変換して、作用汎関数のパラメータ付替え不変性を保障する。

力学変数 テンプレート:Mvar に共役な運動量は テンプレート:Indent であり、運動方程式として テンプレート:Indent が導かれて、自由粒子の運動量は保存する。

拘束条件

補助変数 テンプレート:Mvar から導かれる拘束条件として質量殻条件 テンプレート:Indent が得られる。質量 テンプレート:Mvar がゼロでないときには テンプレート:Indent となって共役運動量は4元運動量に一致する。

拘束条件を用いてラグランジュ関数から補助変数 テンプレート:Mvar を消去すれば テンプレート:Indent であり、作用汎関数は テンプレート:Indent となり、粒子が時空上に描く世界線の長さに比例する。

複数粒子系

複数の粒子がある場合は、粒子を区別する添え字 テンプレート:Mvar を導入し、各々の粒子の位置 テンプレート:Mvar に対する作用汎関数を足し合わせることで相互作用のない自由粒子系の作用汎関数が得られる。すなわち テンプレート:Indent である。補助変数 テンプレート:Mvar は粒子 テンプレート:Mvar ごとに導入される。拘束条件として各々の粒子ごとに質量殻条件が得られて、これを用いて補助変数を消去すれば テンプレート:Indent となる。

曲がった時空の自由粒子

曲がった時空においては時空点に依存する計量 テンプレート:Mvar を導入して テンプレート:Indent となる。作用は計量を置き換えただけであり、平坦な時空の場合と変わらず拘束条件として質量殻条件が導かれる。

共役運動量は質量殻条件を用いれば テンプレート:Indent となり、運動方程式は テンプレート:Indent テンプレート:Indent として測地線の方程式が導かれる。従って、曲がった時空における慣性力、あるいは重力の4元力は テンプレート:Indent となる。ここで テンプレート:Mvar は接続係数 テンプレート:Indent である。

ベクトル場との相互作用

ベクトル場 テンプレート:Mvar と最小結合の形で相互作用する粒子は、相互作用項が テンプレート:Indent テンプレート:Indent で書かれる。相互作用項は補助変数 テンプレート:Mvar を含まないため拘束条件に影響せず、自由粒子の場合と変わらず質量殻条件が導かれる。

共役運動量は質量殻条件を用いれば テンプレート:Indent となり、自由粒子の4元運動量にベクトル場が加えられた形となる。 平坦な時空では運動方程式として テンプレート:Indent テンプレート:Indent が導かれる。ベクトル場が電磁場である場合は、これはローレンツ力であり、4元力は テンプレート:Indent となる。ここで テンプレート:Mvar はベクトル場の強度 テンプレート:Indent であり、電磁場の場合は電磁場テンソルに相当する。

曲がった時空での運動方程式は テンプレート:Indent となる。テンソル添字は時空の計量を用いて テンプレート:Indent により上げ下げされる。 テンプレート:See also

ハミルトン形式

自由粒子のハミルトン関数は、平坦な時空においては テンプレート:Indent となり、曲がった時空においては テンプレート:Indent となる。

ベクトル場 テンプレート:Mvar と相互作用する粒子のハミルトン関数は テンプレート:Indent となる。

特異ラグランジュ系からの移行

補助変数 テンプレート:Mvar はラグランジュ関数に導関数が含まれないため、共役運動量が テンプレート:Indent となり、$\dot{e}$ について解けない特異ラグランジュ系である。この特異系には一次拘束条件 $\varphi =P_e\approx 0$ が課されている。

特異ラグランジュ系からハミルトン系へ移行するとき、ハミルトン関数は一意に定まらず、未定乗数 テンプレート:Mvar を導入して テンプレート:Indent と書かれる。拘束関数 $\varphi =P_e$ の導関数はポアソン括弧により テンプレート:Indent であり、拘束条件が常に満たされるためには、新たに二次拘束条件として $\chi =-\dot{\varphi }\approx 0$ が課される。この拘束条件は質量殻条件である。 新たな拘束関数の導関数は テンプレート:Indent であり、これ以上の二次拘束条件は課されない。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• 特殊相対性理論 - 一般相対性理論
• 古典電磁気学の共変定式
• 相対論的量子力学