矩形数のソースを表示

{{混同|x1=2つの素数の積|半素数}}
'''矩形数'''（くけいすう、{{en|pronic number}}、{{en|oblong number}}）とは、連続する[[自然数]]の[[積]]の値のことである。'''長方形数'''、'''長方数'''とも呼ばれる。矩形数は全て[[偶数]]であり、最小のものは {{math|[[2]]}} である（ただし {{math|[[0]]}} を矩形数に含める場合もある）。

== 数学的性質 ==
*{{mvar|n}} 番目の矩形数は {{math|''n''(''n'' + 1)}} であり、これは {{mvar|n}} 番目の[[三角数]]の2倍に等しい。
*矩形数を小さい順に列記すると
:{{math2|(0), [[2]], [[6]], [[12]], [[20]], [[30]], [[42]], [[56]], [[72]], [[90]], [[110]], [[132]], [[156]], [[182]], [[210]], [[240]], [[272]], [[306]], [[342]], [[380]], [[420]], [[462]], [[506]], [[552]], [[600]], [[650]], [[702]], [[756]], [[812]], [[870]], [[930]], [[992]], …}}（{{OEIS|A2378}}）
*矩形数の1の位は 0, 2, 6 のどれかである。
**さらに、2, 6, 2, 0, 0 を無限に繰り返す。
**矩形数の1の位が 0, 2 の場合は全パターンの末尾2桁が存在するが、1の位が 6 の矩形数の末尾2桁は 06, 56しか存在しない。

*{{math|[[2]]}} から {{mvar|n}} 番目の偶数までの[[総和]]は、{{mvar|n}} 番目の矩形数に等しい。
:例：{{math|2 {{=}} 1 × 2}}, {{math|2 + 4 {{=}} 2 × 3}}, {{math|2 + 4 + 6 {{=}} 3 × 4}}
:{|
!2!! !!6!! !!12!! !!20
|-align="center" valign="top"
|[[画像:RedDot.svg|16px|*]][[画像:RedDot.svg|16px|*]]
|
|[[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[画像:RedDot.svg|16px|*]][[画像:RedDot.svg|16px|*]][[画像:RedDot.svg|16px|*]]
|
|[[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[画像:RedDot.svg|16px|*]][[画像:RedDot.svg|16px|*]][[画像:RedDot.svg|16px|*]][[画像:RedDot.svg|16px|*]]
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|[[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:GrayDot.svg|16px|*]][[画像:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[画像:RedDot.svg|16px|*]][[画像:RedDot.svg|16px|*]][[画像:RedDot.svg|16px|*]][[画像:RedDot.svg|16px|*]][[画像:RedDot.svg|16px|*]]
|}
*[[素数]]である矩形数は {{math|2}} のみである。{{math|2}} は矩形数のうち唯一の[[フィボナッチ数]]であることが知られている。
*{{math|''n''(''n'' + 1) {{=}} ''n''{{sup|2}} + ''n''}} であり、39番目までの矩形数に41を加えた数は、[[オイラー素数]]である。
*{{math|''n''(''n'' + 1) {{=}} (''n'' + 1){{sup|2}} &minus; (''n'' + 1)}}
*[[素数]]番目の矩形数は、素数にその素数の正の約数の総和を乗じたものである：{{math|''p''(''p'' + 1) {{=}} ''p''σ(''p'')}}（{{math|σ}} は[[約数関数]]）（{{OEIS|A036690}}）
*偶数の[[完全数]]の正の約数の総和は矩形数である。（{{OEIS|A139256}}）
*{{mvar|n}} 次[[正方行列]]の成分のうち[[対角成分]]でないものの個数は {{math|''n'' &minus; 1}} 番目の矩形数になる。
*矩形数の[[逆数]]和は {{math|1}} に収束する。
:<math>\begin{align}
\textstyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)} &= \textstyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} \right) \\
 &=\lim_{n\to \infty} \left( 1-\frac{1}{n+1} \right) \\
 &=1
\end{align}</math>
:この[[部分分数分解]]から、矩形数の逆数は自然数の逆数の[[階差数列]]を作ることが分かる（正負の符号は異なる）。また、矩形数の逆数を {{math|1}} 個、 {{math|2}} 個、 {{math|4}} 個、 ・・{{math|2}} の {{mvar|n}}（{{math|≥ 0}}) 乗個、・・ずつ順に加えてゆくと初項、公比とも {{math|1/2}} の無限[[等比数列]]になることも導かれる。
::<math>\frac{1}{2}</math>
::<math>\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}</math>
::<math>\frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} = \frac{1}{8}</math>
:…

== その他矩形数に関すること ==
*矩形数はある数 ''n'' を[[多重根号]]で表すときに出現する。
*: <math>6 = \sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30+\cdots}}}}</math> , <math> 6 = \sqrt{42-\sqrt{42-\sqrt{42-\sqrt{42-\cdots}}}}</math>
:6は5番目の矩形数30と6番目の矩形数42で表すことが可能である。これは <math>n=\sqrt{x\pm n}</math> より ''x'' = ''n''{{sup|2}} ∓ ''n'' と表せるからである。

== 関連項目 ==
* [[図形数]]
* [[三角数]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=PronicNumber|title=Pronic Number}}
{{Divisor classes}}

{{DEFAULTSORT:くけいすう}}
[[Category:図形数]]
[[Category:四角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:整数の類]]