矩形数

テンプレート:混同 矩形数（くけいすう、テンプレート:En、テンプレート:En）とは、連続する自然数の積の値のことである。長方形数、長方数とも呼ばれる。矩形数は全て偶数であり、最小のものはテンプレート:Math である（ただしテンプレート:Math を矩形数に含める場合もある）。

数学的性質

矩形数の1の位は 0, 2, 6 のどれかである。
- さらに、2, 6, 2, 0, 0 を無限に繰り返す。
- 矩形数の1の位が 0, 2 の場合は全パターンの末尾2桁が存在するが、1の位が 6 の矩形数の末尾2桁は 06, 56しか存在しない。

2		6		12		20

\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1)} & = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) \\ = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n + 1}) \\ = 1 \end{matrix}

この部分分数分解から、矩形数の逆数は自然数の逆数の階差数列を作ることが分かる（正負の符号は異なる）。また、矩形数の逆数をテンプレート:Math 個、テンプレート:Math 個、テンプレート:Math 個、・・テンプレート:Math のテンプレート:Mvar（テンプレート:Math) 乗個、・・ずつ順に加えてゆくと初項、公比ともテンプレート:Math の無限等比数列になることも導かれる。

\frac{1}{2}

\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}

\frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} = \frac{1}{8}

…

矩形数はある数 n を多重根号で表すときに出現する。
$6 = \sqrt{30 + \sqrt{30 + \sqrt{30 + \sqrt{30 + \dots}}}}$ , $6 = \sqrt{42 - \sqrt{42 - \sqrt{42 - \sqrt{42 - \dots}}}}$

6は5番目の矩形数30と6番目の矩形数42で表すことが可能である。これは

n = \sqrt{x \pm n}

より x = nテンプレート:Sup ∓ n と表せるからである。