等比数列

等比数列（とうひすうれつ）または幾何数列（きかすうれつ、テンプレート:Lang-en-short）は、隣り合う2つの項の比が項番号によらず等しい数列をいう。各項に共通するその一定の比のことを公比（こうひ、テンプレート:Lang-en-short）という。

例えば初項が テンプレート:Math, 公比が テンプレート:Math の等比数列の最初の数項を列挙すると テンプレート:Math2 となる。ある数列について、隣り合う項の比（この場合、テンプレート:Math2）が常に等しいならその数列は等比数列である。

等比数列 テンプレート:Math について、（定義より公比は テンプレート:Math でないため）公比 テンプレート:Mvar は任意の テンプレート:Mvar 番目の項とその次の項の比 テンプレート:Math から得られる（特に テンプレート:Math の場合は公差が テンプレート:Math の等差数列でもある）。等比数列の各項は初項 テンプレート:Mvar と公比 テンプレート:Mvar を用いて具体的に以下のように表せる。

$$a,ar,a{r}^2,\dots ,a{r}^n,\dots .$$

テンプレート:Math を初項とすれば、テンプレート:Mvar 番目の項 テンプレート:Mvar は以下のように表せる。

$$a_n=a{r}^n.$$

これが等比数列の一般項である。

テンプレート:Vanc

等比数列を漸化式で表すと、

$$\{\begin{array}{cc}{a}_0& =a\\ a_{n+1}& =r{a}_n& (n\ge 0)\end{array}$$

となる。

公比 テンプレート:Mvar が負の場合は符号が一項ずつ入れ替わる。テンプレート:Math と置き換えると、

$$a_n=a(-|r|{)}^n=(-1{)}^{n}a|r{|}^n$$

となり、各項は テンプレート:Mvar が奇数なら初項と異符号になり、偶数なら初項と同符号となる。 公比が負の数列として、例えば　テンプレート:Math　なる公比 テンプレート:Math の等比数列を考えると、その一般項は

$$a_n=3\cdot (-2{)}^n=(-1{)}^{n}3\cdot 2^n$$

となる。公比が正であれば全ての項は初項と同じ符号を持つ。

形式的に等比数列の一般項の対数をとると

$$\log a_n=\log a+n\log r$$

となり、数列 テンプレート:Math は初項 テンプレート:Math 、公差 テンプレート:Math の等差数列になる。

等比数列の連続する3項を小さい順から テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar とすると、常に テンプレート:Math が成り立つテンプレート:Efn2。

等比数列の和

等比数列の初項から第 テンプレート:Mvar 項までの和は以下の式で定義される。

$\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=a+ar+\cdots +a{r}^n$

テンプレート:Math2 の場合、テンプレート:Math2 を掛けると、

$\begin{array}{cc}(1-r)\sum _{k=0}^{n}a{r}^k& =a(1-r)\sum _{k=0}^n{r}^k\\ & =a(1-r)(1+r+\cdots +r^{n-1}+r^n)\\ & =a((1+\bcancel{r+\cdots +r^{n-1}+r^n})\\ & -(\bcancel{r+r^2+\cdots +r^n}+r^{n+1}))\\ & =a(1-r^{n+1})\end{array}$

となるので、等比数列の和は以下のように変形できる。

$\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}(r\ne 1).$

ただし、テンプレート:Math2 の場合は

$\sum _{k=0}^{n}a=(n+1)a$

である。第 テンプレート:Mvar 項から第 テンプレート:Mvar 項までの和は

$\sum _{k=m}^{n}a{r}^k=\sum _{k=0}^{n}a{r}^k-\sum _{k=0}^{m-1}a{r}^k=\frac{a(r^m-r^{n+1})}{1-r}(r\ne 1).$

テンプレート:Vanc

等比数列の級数（総和）を等比級数または幾何級数と呼ぶ。例えば初項 テンプレート:Mvar, 公比 テンプレート:Mvar の等比級数は以下のように書ける：

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^k=a+ar+\cdots +a{r}^k+\cdots .$$

等比級数は初項が 0 （テンプレート:Math）の場合や公比の絶対値が 1 より小さい（テンプレート:Math）場合に収束する。逆に、初項が 0 でなく（テンプレート:Math）公比の絶対値が 1 以上（テンプレート:Math）の場合には等比級数は発散する。

無限級数は数列の第 テンプレート:Mvar 項までの部分和の極限として定義される。等比級数が収束することは、以下の部分和の極限が収束することから確かめられる。

$$\begin{array}{cc}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^k& :=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=0}^{n}a{r}^k\\ & =a\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\\ & \stackrel{|r|<1}{=}\frac{a}{1-r}\end{array}$$

例えば公比 テンプレート:Math で初項が テンプレート:Math の等比級数は テンプレート:Math に収束する：

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^k=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2.$$

テンプレート:Math という幾何級数が テンプレート:Math に収束することを幾何学的に示した図。

関連項目

• 級数
• 数列
• 超幾何級数
• 等差数列
• ねずみ算

外部リンク

• テンプレート:Kotobank
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• テンプレート:高校数学の美しい物語
• テンプレート:MathWorld
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