移流拡散方程式のソースを表示

'''移流拡散方程式'''とは、[[移流方程式]]と[[拡散方程式]]が組み合わされた、それらよりも一般的な[[流れ]]を表す2階線型[[偏微分方程式]]である。
==数学的表現==
[[物理量]]&phi;(''t'' , '''''x''''' )が、[[速度]]'''''c''''' で流れ、かつ[[拡散係数]]''D'' で[[拡散]]する場合の移流拡散方程式は次の式で表される：
:<math>\frac{\partial\phi}{\partial t} + \nabla\cdot(\boldsymbol{c}\phi) = \nabla\cdot(D\nabla\phi)</math>

== 解析解 ==
1次元で、係数''c'' , ''D'' が定数の移流拡散方程式
:<math>\frac{\partial\phi}{\partial t} + c\frac{\partial\phi}{\partial x} = D\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}</math>
については、[[ラプラス変換]]を利用して[[解析解]]を求めることができる<ref>齋藤大作・星清、1997、移流拡散方程式の解析解(1)、開発土木研究所月報第533号、寒地土木研究所、http://kankyou.ceri.go.jp/houkoku/1997/11.pdf</ref>。ここで、[[境界条件]]として次の単位[[ヘヴィサイドの階段関数|ステップ関数]]を仮定する：
:<math>\phi(t,0) = U_0(t) = \begin{cases} 0 & (t < 0) \\ 1 & (t \ge 0)\end{cases}</math>
:<math>\lim_{x\rightarrow\infty}\phi(t,x) < \infty\quad (t\ge 0)</math>
また、[[初期条件]]としては次を仮定する:
:<math>\phi(0,x)=0\quad (x\ge 0)</math>
（実質的に''t'' > 0, ''x'' > 0 の解にのみ興味がある。）

このとき、解は
:<math>\phi(t,x) = \frac{1}{2}\exp\left(\frac{c}{2D}x\right)
\left[\exp\left(-\frac{c}{2D}x\right)\operatorname{erfc}\left(\frac{1}{2\sqrt{Dt}}(x-ct)\right)
     +\exp\left( \frac{c}{2D}x\right)\operatorname{erfc}\left(\frac{1}{2\sqrt{Dt}}(x+ct)\right)\right]</math>
となる。ここで、erfc(''z'' )は[[誤差関数|相補誤差関数]]である。

=== 定常解 ===
上記からさらに、[[定常]]としたときの解析解はより簡単になる<ref>{{cite|和書 |title=コンピュータによる流体力学 |author=Joel H. Ferziger |author2=Milovan Peri&#x107; |translator=小林敏雄、谷口伸行、坪倉誠 |publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京 |year=2003 |isbn=4-431-70842-1 |pages=61-62}}</ref>。このとき移流拡散方程式は
:<math>c\frac{d\phi}{dx} = D\frac{d^2\phi}{dx^2}</math>
である。''x'' の範囲は区間 [0, ''L'' ] 内とし、境界条件として
:<math>\phi(0)=\phi_0,\quad \phi(L)=\phi_L</math>
とする。この時の解析解は
:<math>\phi(x) = \phi_0 + \frac{\exp(Pe\cdot x/L)-1}{\exp(Pe)-1}(\phi_L-\phi_0)</math>
ただし
:<math>Pe:=\frac{c L}{D}</math>
と表される。ここで''Pe'' は'''ペクレ数'''（[[:en:Péclet number|Péclet number]]）といい、移流と拡散の比を表す[[無次元量]]である。

この解はとても簡単であるため、[[数値流体力学|CFD]]において解法の評価に用いられる。

== 参考文献 ==
<references/>

== 関連項目 ==
* [[ナビエ-ストークス方程式]] - 物理量として速度をとった移流拡散方程式である。
* [[バーガース方程式]]

{{Physics-stub}}
{{DEFAULTSORT:いりゆうかくさんほうていしき}}
[[Category:流体力学]]
[[Category:物理化学]]
[[Category:微分方程式]]
[[Category:物理学の方程式]]
[[Category:拡散]]
[[Category:対流]]