移流拡散方程式

移流拡散方程式とは、移流方程式と拡散方程式が組み合わされた、それらよりも一般的な流れを表す2階線型偏微分方程式である。

数学的表現

物理量φ(t , x )が、速度c で流れ、かつ拡散係数D で拡散する場合の移流拡散方程式は次の式で表される：

$\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (𝒄\varphi )=\mathrm{\nabla }\cdot (D\mathrm{\nabla }\varphi )$

解析解

1次元で、係数c , D が定数の移流拡散方程式

$\frac{\partial \varphi }{\partial t}+c\frac{\partial \varphi }{\partial x}=D\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}$

については、ラプラス変換を利用して解析解を求めることができる。ここで、境界条件として次の単位ステップ関数を仮定する：

$\varphi (t,0)=U_0(t)=\{\begin{array}{cc}0& (t<0)\\ 1& (t\ge 0)\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\varphi (t,x)<\mathrm{\infty }(t\ge 0)$

また、初期条件としては次を仮定する:

$\varphi (0,x)=0(x\ge 0)$

（実質的にt > 0, x > 0 の解にのみ興味がある。）

このとき、解は

$\varphi (t,x)=\frac{1}{2}\exp \left(\frac{c}{2D}x\right)[\exp (-\frac{c}{2D}x)\mathrm{erfc}(\frac{1}{2\sqrt{Dt}}(x-ct))+\exp \left(\frac{c}{2D}x\right)\mathrm{erfc}(\frac{1}{2\sqrt{Dt}}(x+ct))]$

となる。ここで、erfc(z )は相補誤差関数である。

定常解

上記からさらに、定常としたときの解析解はより簡単になる。このとき移流拡散方程式は

$c\frac{d\varphi }{dx}=D\frac{d^2\varphi }{d{x}^2}$

である。x の範囲は区間 [0, L ] 内とし、境界条件として

$\varphi (0)={\varphi }_0,\varphi (L)={\varphi }_L$

とする。この時の解析解は

$\varphi (x)={\varphi }_0+\frac{\exp (Pe\cdot x/L)-1}{\exp (Pe)-1}({\varphi }_L-{\varphi }_0)$

ただし

$Pe:=\frac{cL}{D}$

と表される。ここでPe はペクレ数（Péclet number）といい、移流と拡散の比を表す無次元量である。

この解はとても簡単であるため、CFDにおいて解法の評価に用いられる。

関連項目

• ナビエ-ストークス方程式 - 物理量として速度をとった移流拡散方程式である。
• バーガース方程式