移送 (群論)のソースを表示

[[数学]]の[[群論]]の分野における（群の）'''移送'''（いそう、{{lang-en-short|''transfer''}}）{{efn|「移行」「転移」を意味する{{lang-de|''Verlagerung''}}（[[ヘルムート・ハッセ]]に帰される）の翻訳借用<ref>{{citation|和書|url=http://mathsoc.jp/publication/tushin/1102/miyake11-2.pdf|format=PDF|title=彌永先生の数学的な業績|
last=三宅|first=克哉|journal=数学通信|publisher=日本数学会|volume=11|issue=2|pages=44&mdash;|year=2006|quote=なお，群の「移送」(Verlagerung; transfer) は Hasse が「イデアルの持ち上げ」に因んで命名した．}}</ref>}}は、与えられた群 {{mvar|G}} とその[[部分群の指数|指数有限]][[部分群]] {{mvar|H}} に対し、{{mvar|G}} から {{mvar|H}} の[[アーベル化]]への[[群準同型]]を定義する。

[[シローの定理]]とともに用いて有限単純群の存在性に関するある種の数的な結果を得るために利用できる。

移送の概念を定義したのは {{harvs|txt|authorlink=Issai Schur|first=Issai|last= Schur|year=1902}} であり、 {{harvs|txt|first=Emil|last= Artin|authorlink=Emil Artin|year=1929}} において再発見された{{sfn|Serre|1979|p=122}}。

== 構成 ==
写像は以下の通り構成される{{sfn|Scott|1987|loc=3.5}}:
指数 {{math|{{bracket|''G'' : ''H''}} {{eqqcolon}} ''n''}} とし、{{mvar|G}} の {{mvar|H}} による左[[剰余類]]の{{ill2|完全代表系|en|system of distinct representatives|preserve=1}} を具体的に {{math|''x''{{sub|1}}, …, ''x{{sub|n}}''}} と書けば <math display="block">G = \bigcup_{i=1}^n x_i H</math> は非交和である。固定した {{math|''y'' ∈ ''G''}} に対して、各 {{mvar|yx{{sub|i}}}} は適当な剰余類 {{mvar|x{{sub|j}}H}} に入るから、<math display="block">yx_i = x_jh_i\quad(1 \le \exists j\le n, \exists h_i\in H)</math> の形になる。この {{mvar|y}} の移送準同型による像は、{{mvar|H&prime;}} を {{mvar|H}} の[[交換子部分群]]として、積 <math display="inline">(\prod_{i=1}^n h_i)H' \in H/H'</math> と定義される。ここで {{mvar|H/H&prime;}} はアーベルであるから、積の順序は問わないことに注意。

さて、個々の {{mvar|h{{sub|i}}}} は代表元のとり方に依存するが、移送の値は代表元のとり方に依存しないことが直截的に示せる。このように定めた写像が準同型となることも直截的にわかる。

== 例 ==
* アーベル群 {{mvar|G}} に対して、移送準同型は {{mvar|G}} の各元 {{mvar|y}} を冪 {{math|''y''{{sup|{{bracket|''G'':''H''}}}}}} に写す。
* 簡単な例は[[平方剰余]]に関する[[ガウスの補題 (数論)|ガウスの補題]]に見られる。それは事実上、[[素数]] {{mvar|p}} を法とする{{ill2|既約合同類群|label=非零合同類の成す乗法群|en|Multiplicative group of integers modulo n}}とその部分群 {{math|{{mset|1, &minus;1}}}} に関する移送を計算するものである{{sfn|Serre|1979|p=122}}。このような視点から見ると、（例えば {{math|''p'' &minus; 1}} が {{math|3}} で割り切れる場合における立方剰余に対して）正しい一般化の方法を見つけるのが容易になるという利点がある。

== ホモロジー的解釈 ==
[[群コホモロジー]]（厳密に言えば、群ホモロジー）論の文脈では、より抽象的な形でこの移送準同型写像が定義される{{sfn|Serre|1979|p=120}}。[[代数的位相幾何学]]においても、移送は群の[[分類空間]]の間で定義される。

== 交換子部分群 ==
{{mvar|G}} が[[有限生成群|有限生成]]ならば {{mvar|G}} の[[交換子部分群]] {{mvar|G&prime;}} は {{mvar|G}} において有限な指数を持ち、{{math|1=''H'' = ''G&prime;''}} に関する移送は自明（すなわち {{mvar|G}} 全体が {{mvar|G&prime;}} のアーベル化における {{math|0}} へ写る）である。この事実は[[類体論]]における{{ill2|主イデアル定理|label=単項化定理|en|principal ideal theorem}}の証明において重要である{{sfn|Serre|1979|p=122}}。  See the [[Emil Artin]]-[[John Tate]] ''Class Field Theory'' notes.

== 関連項目 ==
* {{ill2|焦点部分群定理|en|Focal subgroup theorem}}: 重要な応用
* {{ill2|アルティン移送|en|Artin transfer (group theory)}}: アルティン相互律により代数体の拡大におけるイデアル類の単項化を記述する

== 注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{citation |journal= Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg |year= 1929|volume= 7|issue= 1|pages= 46–51 |title= Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz |first= Emil|last= Artin|doi=10.1007/BF02941159 |ref=harv}}
* {{citation |journal= Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften |last= Schur |first= Issai |title= Neuer Beweis eines Satzes über endliche Gruppen|jfm= 33.0146.01 |pages= 1013–1019 |year=1902 |ref=harv}}
* {{cite book | title=Group Theory | first=W.R. | last=Scott | publisher=Dover | year=1987 | isbn=0-486-65377-3 | pages=60 ff. | zbl=0641.20001 | origyear=1964 |ref=harv}}
* {{cite book | last=Serre | first=Jean-Pierre | authorlink=Jean-Pierre Serre | title=Local fields | others=Translated from the French by Marvin Jay Greenberg | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=67 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1979 | isbn=0-387-90424-7 | zbl=0423.12016 | pages=120–122  |ref=harv}}

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[[Category:群論]]
[[Category:数学に関する記事]]