積に対するヤングの不等式のソースを表示

[[数学]]における（積に対する）'''ヤングの不等式'''（ヤングのふとうしき、{{lang-en-short|''Young's inequality''}}）は二つの数の積を評価する[[不等式]]である<ref>{{citation | first1 = W. H. | last1 = Young | author-link = William Henry Young | year = 1912 | title = On classes of summable functions and their Fourier series | journal = [[Proceedings of the Royal Society A]] | volume=87 | pages=225–229 | jfm = 43.1114.12 | jstor = 93236 | doi = 10.1098/rspa.1912.0076 | issue = 594 }}</ref>。名称は、[[ウィリアム・ヘンリー・ヤング]]に因む。[[ヤングの畳み込み不等式]]と混同すべきではない。

ヤングの不等式は[[ヘルダーの不等式]]の証明に利用できる。二つの項の積がヤングの不等式によりそれらの項の冪を適当にスケールしたものの和として評価できることから、ヤングの不等式は[[偏微分方程式]]論における非線形項を評価するのにも広く用いられる。

== 標準的な主張 ==
ヤングの不等式の標準的な主張では、{{mvar|a, b}} は[[非負]][[実数]]とし、{{mvar|p, q}} は {{math|1}} 以上の実数で {{math|1=1/''p'' + 1/''q'' = 1}} を満たすもの（[[ヘルダーの不等式|ヘルダー]]の意味での「共軛指数」）とするとき、<math display="block">ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}</math> が成り立つことを述べる。

等号の成立には {{mvar|a{{exp|p}} {{=}} b{{exp|q}}}} が必要十分である。この形のヤングの不等式は[[イェンゼンの不等式]]から証明することができ、[[ヘルダーの不等式]]の証明に利用できる。

{{math proof|drop=yes|1=
{{math|1=''a'' = 0}} または {{math|1=''b'' = 0}} のとき主張は明らかに真。そこで、以下 {{math|''a'' > 0, ''b'' > 0}} と仮定する。{{math|''t'' {{coloneqq}} 1/''p''}} および {{math|1=(1 &minus; ''t'') = 1/''q''}} とする。[[対数函数]]は[[凸函数]]であるから、<math display="block">\ln(t a^p + (1-t) b^q) \ge t \ln(a^p) + (1-t) \ln(b^q) =\ln(a) +\ln(b) = \ln(ab)</math> が成り立ち、等号は {{mvar|a{{exp|p}} {{=}} b{{exp|q}}}} のときかつそのときに限り成立する。両辺の冪をとって所期の結果が従う。
}}

; 注: 特別の場合として冪指数を {{math|1=''p'' = ''q'' = 2}} ととった <math display="block">ab \le \frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2}</math> はより初等的な証明が可能である{{efn|任意の実数の平方は {{math|0}} または正であるから、任意の実数の対 {{mvar|a, b}} に対して {{math|0 &le; (''a'' &minus; ''b''){{exp|2}}}} である。右辺を展開して整理すれば {{math|2''ab'' &le; ''a''{{exp|2}} + ''b''{{exp|2}}}} であるから所期の不等式は直ちに出る。また、<math display="block">a' :=a/\sqrt{\varepsilon},\quad b': =\sqrt{\varepsilon}b</math> とおけば、{{mvar|ε}} 付きのほうも出る}}。またここから、いわゆる {{mvar|ε}} 付きのヤングの不等式（{{math|''ε'' > 0}} は任意）<math display="block">ab \le \frac{a^2}{2\varepsilon} + \frac{\varepsilon b^2}{2}</math> も生じる。{{efn|これをピーター&ndash;ポール不等式と言ったりもする<ref>{{citation
 | last1       = Tisdell
 | first1      = Chris
 | title      = The Peter Paul Inequality
 | publisher  = YouTube video on Dr Chris Tisdell's YouTube channel
 | year       = 2013
 | url        = https://www.youtube.com/watch?v=C_bjbjTzHP4
}}</ref>が、この名称は第二項の厳格な制御が第一項のある制御を失うコストによって達成されることを表したもの「ピーターから取ってポールに払う」("rob Peter to pay Paul")。}}

== 行列版 ==
[[安藤毅 (数学者)|安藤毅]]は複素行列に対するヤングの不等式の一般化（順序は{{ill2|レヴナー順序|en|Loewner order}}による）を示した<ref>{{cite book|author1=T. Ando|author1-link=安藤毅 (数学者)|editor1-last=Huijsmans|editor1-first=C. B.|editor2-last=Kaashoek|editor2-first=M. A.|editor3-last=Luxemburg|editor3-first=W. A. J.|editor4-last=de Pagter|editor4-first=B.| display-editors = 3|title=Operator Theory in Function Spaces and Banach Lattices|date=1995|publisher=Springer|isbn=978-3-0348-9076-2|pages=33–38|chapter=Matrix Young Inequalities}}</ref>。
; 定理 (行列ヤング不等式): 位数 {{mvar|n}} の任意の複素行列の対 {{mvar|A, B}} に対し、ユニタリ行列 {{mvar|U}} が一意に存在して、<math display="block"> U^{*} |AB^{*}| U \preceq \frac{1}{p}|A|^{p} + \frac{1}{q} |B|^{q}</math> とできる。ここに {{math|*}} は[[随伴行列|行列の随伴]]で、<math>|A| := \sqrt{A^{*}A}</math> とする。

== 増大関数による一般化 ==
[[File:Young.png|thumb|{{mvar|a, b}} の作る矩形領域の面積は {{mvar|f}} の下にある面積(赤)と{{mvar|''f''{{exp|&minus;1}}}}の下にある面積(黄)の和を超えることはない。]]
ある種のヤングの不等式<ref>{{citation
 | last1       = Hardy
 | first1      = G. H.
 | last2       = Littlewood
 | first2      = J. E.
 | last3       = Pólya
 | first3      = G.
 | author1-link = Godfrey Harold Hardy
 | author2-link = John Edensor Littlewood
 | author3-link = George Pólya
 | title      = Inequalities
 | edition    = 2nd
 | series     = Cambridge Mathematical Library
 | publisher  = Cambridge University Press
 | location   = Cambridge
 | year       = 1952
 | origyear   = 1934
 | pages      = 
 | isbn       = 0-521-05206-8 
 | url        = http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521358804
 | mr       = 0046395
 | zbl       = 0047.05302
}}, Chapter&nbsp;4.8</ref><ref>{{citation
 | last1       = Henstock
 | first1      = Ralph
 | author1-link = Ralph Henstock
 | title      = Lectures on the Theory of Integration
 | series     = Series in Real Analysis Volume I
 | publisher  = World Scientific
 | location   = Singapore, New Jersey
 | year       = 1988
 | isbn       = 9971-5-0450-2
 | mr       = 0963249
 | zbl       = 0668.28001 
}}, Theorem&nbsp;2.9</ref>は{{mvar|f}} を閉区間 {{closed-closed|0, ''c''}} ({{math|''c'' > 0}}) で狭義単調増大な実数値連続関数で {{math|1=''f''(0) = 0}} となるものを用いて記述される。{{math|''f''{{exp|&minus;1}}}} は {{mvar|f}} の[[逆写像]]とすれば、任意の {{math|''a'' ∈ {{closed-closed|0, ''c''}}}} および {{math|''b'' ∈ {{closed-closed|0, ''f''(''c'')}}}} に対し、<math display="block">ab \le \int_0^a f(x)\,dx + \int_0^b f^{-1}(x)\,dx</math> であり、等号成立は {{math|1=''b'' = ''f''(''a'')}} が必要十分。

== フェンケル–ルジャンドル変換を用いた一般化 ==
{{mvar|f}} は[[凸函数]]として、その[[ルジャンドル変換]]（[[凸共軛]]）を {{mvar|g}} と書けば、<math display="block"> ab \le f(a) + g(b)</math> が成り立つ。これはルジャンドル変換の定義から直ちに従う。

より一般に、{{mvar|f}} が実線型空間 {{mvar|X}} 上で定義された凸函数で、その凸共軛を {{mvar|f*}}（これは[[双対空間]] {{mvar|X*}} 上定義される）と書けば、<math display="block"> \langle u, v \rangle \le f^\star(u) + f(v)</math> である。ただし、{{math|{{angbr|,}}: ''X*'' × ''X'' → '''R'''}} は[[双対対|双対性の内積]]とする。

; 例:
* {{math|''f''(''a'') {{coloneqq}} ''a{{exp|p}}''/''p''}} のルジャンドル変換は {{math|''g''(''b'') {{coloneqq}} ''b{{exp|q}}''/''q''}} ({{math|1=1/''p'' + 1/''q'' = 1}} であるから、冒頭に述べたヘルダー共軛指数に対するヤングの不等式は、特別の場合になっている。
* {{math|''f''(''a'') {{coloneqq}} ''e{{exp|a}}'' – 1}} のルジャンドル変換は {{math|''g''(''b'') {{coloneqq}} 1 &minus; ''b'' + ''b''&sdot;ln(''b'')}} であるから、{{math|''ab'' ≤ ''e{{exp|a}}'' &minus; ''b'' + ''b''&sdot;ln(''b'')}} が任意の {{math|''a'', ''b'' &ge; 0}} に対して成立する。この評価式は、指数モーメント条件下の[[大偏差理論]]において有用である（{{math|''b''&sdot;ln(''b'')}} は、{{ill2|Sanovの定理|en|Sanov's theorem}}の{{ill2|率函数|en|rate function}}である[[相対エントロピー]]に現れる）。

== 関連項目 ==
* [[凸共役性]]
* [[ルジャンドル変換]]

== 注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|715|ヤングの不等式の３通りの証明}}
* {{MathWorld|title=Young's Inequality|urlname=YoungsInequality}}
* {{PlanetMath|urlname=YoungInequality |title=Young inequality}} / {{PlanetMath|urlname=YoungsInequality |title=Young's inequality}} / {{PlanetMath|urlname=generalizationofyounginequality |title=generalization of Young inequality}}
* {{PlanetMath|urlname=anotherproofofyounginequality |title=another proof of Young inequality}}
* {{ProofWiki|urlname=Young's_Inequality_for_Products|title=Young's Inequality for Products}} / {{ProofWiki|urlname=Young's_Inequality_for_Increasing_Functions|title=Young's Inequality for Increasing Functions}}

{{DEFAULTSORT:やんくのふとうしき}}
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