積率母関数のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年2月}}
[[確率論]]や[[統計学]]において、[[確率変数]] ''X'' の'''積率母関数'''または'''モーメント母関数'''（[[英語|英]]: moment-generating function）は、[[期待値]]が存在するならば次の式で定義される。

:<math> M_X(t) := E\left(e^{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R} </math>

積率母関数がそのように呼ばれるのは、''t''&nbsp;=&nbsp;0 の周囲の開区間上でそれが存在する場合、それが[[確率分布]]の[[モーメント (確率論)|モーメント]]の[[母関数]]であるからである。
:<math>E \left( X^n \right) = M_X^{(n)}(0) = \frac{d^n M_X}{dt^n}(0)</math>

積率母関数がそのような区間について定義される場合、それにより確率分布が一意に決定される。

積率母関数で重要なことは、積分が収束しない場合、積率（モーメント）と積率母関数が存在しない可能性がある点である。これとは対照的に[[特性関数 (確率論)|特性関数]]は常に存在するため、そちらを代わりに使うこともある。

より一般化すると、''n''-次元の確率変数ベクトル(ベクトル値確率変数) <math>\boldsymbol{X} = ( X_1, \dots, X_n)</math> の場合、<math>tX</math> の代わりに <math>\boldsymbol{t} \cdot \boldsymbol{X} \equiv \boldsymbol{t}^{\intercal}\boldsymbol{X}</math> を使い、次のように定義する。

:<math> M_{\boldsymbol X}(\boldsymbol{t}) := E\left(e^{\boldsymbol{t} \cdot \boldsymbol{X}}\right)</math>

== 計算 ==
積率母関数は[[リーマン＝スティルチェス積分]]で次のように与えられる。

:<math>M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\,dF(x)</math>

ここで ''F'' は[[累積分布関数]]である。

''X'' が連続な[[確率密度関数]] ''f''(''X'') を持つ場合、<math>M_X(-t)</math> は ''f''(''x'') の[[両側ラプラス変換]]である。

:<math>\begin{align}
M_X(t) &= \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x \\
&= \int_{-\infty}^\infty \left( 1 + tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \dotsb \right) f(x)\,\mathrm{d}x \\
&= 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} + \dotsb
\end{align}</math>

ここで、<math>m_i</math> は ''i''番目の[[モーメント (確率論)|モーメント]]である。

=== 2つの独立確率変数の和 ===
2つの独立な確率変数の和の積率母関数は次のようになる。

:<math>M_{X+Y}(t) = E\left(e^{t(X+Y)}\right) = E(e^{tX})E(e^{tY}) = M_X(t)M_Y(t)</math>

=== 独立確率変数の総和(一般化) ===
''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub> が一連の独立確率変数で（分布が同一である必要は無い）、

:<math>S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i</math>

としたとき（''a''<sub>''i''</sub> は定数）、''S''<sub>''n''</sub> の確率密度関数はそれぞれの ''X''<sub>''i''</sub> の確率密度関数の[[畳み込み]]となり、''S''<sub>''n''</sub> の積率母関数は次のようになる。

:<math>M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\dotsb  M_{X_n}(a_nt).</math>

== 他の関数との関係 ==
積率母関数に関連して、確率論にはいくつかの[[積分変換|変換]]が存在する。
; [[特性関数 (確率論)|特性関数]]
: 特性関数 <math>\varphi_X(t)</math> と積率母関数は <math>\varphi_X(t) = M_{iX}(t) = M_X(it)</math> という関係にある。すなわち、特性関数は ''iX'' の積率母関数であり、''X'' の積率母関数を虚数軸で評価したものである。
; [[キュムラント母関数]]
: キュムラント母関数は積率母関数の対数として定義される。特性関数の対数をキュムラント母関数とする場合もあるが、通常そちらは「第2」キュムラント母関数と呼ぶ。
; [[確率母関数]]
: 確率母関数は <math>G(z) = E[z^X]\,</math> で定義される。したがって、<math>G(e^t)  = E[e^{tX}] = M_X(t)\,</math> である。

== 具体例 ==
{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|-
! 分布
! 積率母関数 <math>M_X(t)</math>
|-
| [[二項分布]] <math>B(n, p)</math>  || <math>(1-p+pe^t)^n</math>
|-
| [[コーシー分布]] || 存在しない<ref>Allan Gut: ''Probability: A Graduate Course.'' Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-1-4614-4707-8, Chapter 8, Example 8.2.</ref>。
|-
| [[指数分布]] <math>\mathrm{Exp}(\lambda)</math>  || <math>\frac{\lambda}{\lambda-t}</math> for <math>t < \lambda</math>
|-
| [[正規分布]] <math>N(\mu,\sigma^2)</math>  || <math>\exp{\left(\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)}</math>
|-
| [[ポアソン分布]] <math>Po(\lambda)</math>  || <math>\exp(\lambda(e^t-1))</math>
|}

== 注 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:せきりつほかんすう}}
[[Category:確率論]]
[[Category:確率分布]]
[[Category:母関数]]
[[Category:数学に関する記事]]