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[[圏論]]において、考えている圏の二つの（あるいはそれ以上の）対象の（圏論的）'''積'''（せき、{{lang-en-short|''product''}}）または'''直積''' (''direct product'') は[[直積集合|集合の直積（デカルト積）]]、[[群の直積]]、[[環の直積]]、[[積位相|位相空間の直積]]といった数学の他の分野における構成の背後にある本質を捉えるために考えられた概念である。本質的に対象の族の積は与えられた対象のそれぞれへの[[射 (圏論)|射]]をもつ「最も一般な」対象である。

== 定義 ==
{{mvar|C}} を適当な対象 {{math|''X''{{sub|1}}, ''X''{{sub|2}}}} をもった圏とする。{{math|''X''{{sub|1}}}} と {{math|''X''{{sub|2}}}} との'''積'''とは、{{math|''X''{{sub|1}} × ''X''{{sub|2}}}} と書かれる {{mvar|C}} の対象と二つの射 {{math|''π''{{sub|1}}:''X''{{sub|1}} × ''X''{{sub|2}} → ''X''{{sub|1}} }} および {{math|''π''{{sub|2}}: ''X''{{sub|1}} × ''X''{{sub|2}} → ''X''{{sub|2}}}} との組で、以下の[[普遍性]]を満たすものを言う。
; 積の普遍性 (二対象の場合)
: 任意の対象 {{mvar|Y}} および射の対 {{math|''f''{{sub|1}}: ''Y'' → ''X''{{sub|1}}}} および {{math|''f''{{sub|2}}: ''Y'' → ''X''{{sub|2}}}} が与えられたとき、一意的な射 {{math|''f'': ''Y'' → ''X''{{sub|1}} × ''X''{{sub|2}}}} が存在して、図式 [[file:CategoricalProduct-03.svg|200px|center|積の普遍性を表す可換図式]] を[[可換図式|可換]]にする。

一意的な射 {{mvar|f}} は {{math|''f''{{sub|1}}}} と {{math|''f''{{sub|2}}}} との'''射の積'''と言い、{{math|{{angbr|''f''{{sub|1}}, ''f''{{sub|2}}}}}} とも書かれる。射 {{math|''π''{{sub|1}}, ''π''{{sub|2}}}} は'''自然な射影'''、'''標準射影''' ({{en|canonical projection}}) あるいは'''射影射''' ({{en|projection morphism}}) と呼ばれる。

いま定義したものは、'''二項の積'''であるが、より一般に集合 {{mvar|I}} で添字付けられた対象の任意の[[族 (数学)|族]]をとり、それらの'''積'''を考えることができる。すなわち、

圏 {{mvar|C}} の対象の族 {{math|{{mset|''X{{sub|i}}''}}{{sub|''i''∈''I''}}}} の（{{mvar|C}} における）'''積'''とは、{{mvar|C}} の対象 {{mvar|X}} と射の族 {{math|''π{{sub|i}}'': ''X'' → ''X{{sub|i}}'' (''i'' ∈ ''I'')}} との組で以下の普遍性を満足するものを言う。
; 積の普遍性
: 任意の対象 {{mvar|Y}} と射の族 {{math|''f{{sub|i}}'': ''Y'' → ''X{{sub|i}}'' (''i'' ∈ ''I'')}} が与えられたとき、一意的な射 {{math|''f'': ''Y'' → ''X''}} が存在して、次の図式 [[file:CategoricalProduct-01.png|100px|center|積の普遍性]] が任意の {{mvar|i}} に対して可換となる。

この積 {{mvar|X}} をしばしば''' {{math|&prod;{{su|b=''i''∈''I''}} ''X{{sub|i}}''}} '''で表す。{{math|1=''I'' = {{mset|1, …, ''n''}}}} の場合は特に {{math|''X''{{sub|1}} × ⋯ × ''X{{sub|n}}''}} のように書き、射の積も {{math|{{angbr|''f''{{sub|1}}, …, ''f{{sub|n}}''}}}} のように書く。

=== 等式的な定義 ===
図式を用いる代わりに、対象の積を等式的に定めることができる。その場合例えば、二項の積は
* 一意な射 {{mvar|f}} が存在することは、二項演算 {{math|{{angbr|&ndash;, &ndash;}}}} の存在性によって保障される。
* 図式の可換性は等式 {{math|1=''π{{sub|i}}'' ∘ {{angbr|''f''{{sub|1}}, ''f''{{sub|2}}}} = ''f{{sub|i}}'' (''i'' = 1, 2)}} が任意の {{math|''f''{{sub|1}}, ''f''{{sub|2}}}} について成り立つことによって保障される。
* {{mvar|f}} の一意性は任意の {{mvar|f}} に対し等式 {{math|1={{angbr|''π''{{sub|1}} ∘ ''π''{{sub|2}}}} = ''f''}} が成り立つことによって保証される<ref>{{cite book
| author = Lambek J., Scott P. J.
| title = Introduction to Higher-Order Categorical Logic
| publisher = Cambridge University Press
| year = 1988
| page = 304
}}</ref>。

=== 極限として ===
積は[[極限 (圏論)|極限]]の特別な場合である。これを見るには、極限の定義で必要となる[[図式 (圏論)|図式]]において[[離散圏]]（恒等射以外の射をもたない対象からなる族）を用いればよい（各離散対象は成分と射影の添字を与え、図式を関手とみれば（離散圏とみた）添字集合 {{mvar|I}} からの関手である）。このとき実際に積の定義が極限の定義と一致することがみてとれる。{{math|{{mset|''f{{sub|i}}''}}{{sub|''i''∈''I''}}}} が{{仮リンク|錐 (圏論)|label=錐|en|cone (category theory)}}、射影が極限（極限錐）である。

=== 普遍構成 ===
極限が[[普遍性|普遍構成]]の特別な場合であるのと全く同じように、積もそうである。[[極限 (圏論)#普遍性|極限の普遍性]]を適用するのに必要なものとして、{{mvar|J}} をただ二つの対象をもつ離散圏とする（このとき {{mvar|C{{sup|J}}}} は単に{{仮リンク|積圏|en|product category}} {{math|''C'' × ''C''}} である）。[[対角関手]] {{math|Δ: ''C'' → ''C'' × ''C''}} は各対象 {{mvar|X}} に[[順序対]] {{math|(''X'', ''X'')}} を対応させ、各射 {{mvar|f}} に順序対 {{math|(''f'', ''f'')}} を対応させるものである。{{mvar|C}} における積 {{math|''X''{{sub|1}} × ''X''{{sub|2}}}} は、対角函手 {{math|Δ}} から {{math|''C'' × ''C''}} の対象 {{math|(''X''{{sub|1}}, ''X''{{sub|2}})}} への[[普遍性|普遍射]]によって与えられる。この普遍射は {{mvar|C}} の対象 {{mvar|X}} と射 {{math|(''X'', ''X'') → (''X''{{sub|1}}, ''X''{{sub|2}})}} からなり、これは射影を含んでいる。

== 例 ==
[[集合の圏]]における（圏論的な意味での）積は[[デカルト積]]（集合の直積）である。与えられた集合の族 {{math|''X{{sub|i}}'' (''i'' ∈ ''I'')}} に対する積は、集合 {{math|&prod;{{su|b=''i''∈''I''}} ''X{{sub|i}}'' {{coloneqq}} {{mset|(''x{{sub|i}}''){{sub|''i''∈''I''}} | ''x{{sub|i}}'' ∈ ''X{{sub|i}}'' (∀''i'' ∈ ''I'')}}}} と[[射影 (集合論)|自然な射影]]の族 {{math|''π{{sub|i}}'': &prod;{{su|b=''i''∈''I''}} ''X{{sub|i}}'' → ''X{{sub|j}}'' (''j'' ∈ ''I'')}} との組として定まる。ここで各射影は {{math|''π{{sub|j}}''((''x{{sub|i}}''){{sub|''i''∈''I''}}) {{coloneqq}} ''x{{sub|j}}''}} を満たす写像である。 
{{anchors|Product function}}
任意の集合 {{mvar|Y}} と写像の族 {{math|''f{{sub|i}}'': ''Y'' → ''X{{sub|i}}''}} が与えられたとき、普遍射 {{math|''f'': ''Y'' → &prod;{{su|b=''i''∈''I''}} ''X{{sub|i}}''}} は {{math|''f''(''y'') {{coloneqq}} (''f{{sub|i}}''(''y'')){{sub|''i''∈''I''}}}} として定まる。

他の例：
* [[位相空間の圏]]における積は、各因子の台集合のデカルト積を台として[[積位相]]を入れた空間である。積位相はすべての射影が[[連続関数 (位相空間論)|連続]]であるような{{仮リンク|最も粗い位相|en|coarsest topology}}である。
* 一つの環 {{mvar|R}} 上の[[加群の圏]]における積は、台集合のデカルト積に成分ごとの加法と分配的な積を入れたものである。
* [[群の圏]]における積は、台集合のデカルト積に成分ごとの積を入れた[[群の直積]]によって与えられる。
* [[関係の圏]] {{math|'''Rel'''}} において、積は[[非交和]]によって与えられる。（集合の圏 {{math|'''Set'''}} が {{math|'''Rel'''}} の[[部分圏]]であることを考えるとこれは少し驚かれるかもしれない。）
* [[代数多様体]]の圏において、圏論的な積は{{仮リンク|Segre埋め込み|en|Segre embedding}}によって与えられる。
* {{仮リンク|半アーベルモノイド|en|Trace monoid}} (semi-abelian monoid) の圏において、圏論的な積は [[:en:history monoid|history monoid]] によって与えられる。
* [[半順序集合]]は順序関係を射として用いることで圏として扱うことができる。この場合積と[[余積]]は最大下界と最小上界（[[交わりと結び]]）に対応する。

== 議論 ==
任意の圏において、必ずしも積が存在するとは限らない。例えば、[[空積]]（すなわち添字集合 {{mvar|I}} が[[空集合]]）は[[終対象]]と同じであり、無限群の圏のようないくつかの圏は終対象を持たない： 任意の無限群 {{mvar|G}} に対し、射 {{math|'''Z''' → ''G''}} は無限個存在するので、{{mvar|G}} が終対象となることはありえない。

添字集合 {{mvar|I}} に対し、{{mvar|I}} で添字付けられる任意の族が圏 {{mvar|C}} において積を持つならば、積をとる演算を取り纏めて[[関手]] {{math|''C{{sup|I}}'' → ''C''}} として扱うことができる{{sfn|Mac Lane|1988|p=37}}。この関手が対象をどのように写すかは明らかだが、射の対応は微妙である（[[#定義|定義]]節で与えられた「射の積」とは少々異なる）。二項の積（積函手は{{仮リンク|双関手|en|bifunctor}}）の場合を考えると、必要となるのは {{math|''f''{{sub|1}}: ''X''{{sub|1}} → ''Y''{{sub|1}}, ''f''{{sub|2}}: ''X''{{sub|2}} → ''Y''{{sub|2}}}} に対して適当な {{math|''X''{{sub|1}} × ''X''{{sub|2}} → ''Y''{{sub|1}} × ''Y''{{sub|2}}}} なる射を作ることで、それには積 {{math|{{angbr|''f''{{sub|1}} ∘ ''π''{{sub|1}}, ''f''{{sub|2}} ∘ ''π''{{sub|2}}}}}} を取ればよい。射に対するこの演算を'''射の直積'''あるいは'''デカルト積''' (cartesian product of morphisms) と呼ぶ<ref name="esslli">{{cite book
| author = Michael Barr, Charles Wells
| title = Category Theory - Lecture Notes for ESSLLI
| year = 1999
| url = http://www.let.uu.nl/esslli/Courses/barr/barrwells.ps
| page = 62
}}</ref>。一般の場合の積関手も同様に、族 {{math|{{mset|''X{{sub|i}}''}}{{sub|''i''∈''I''}}, {{mset|''Y{{sub|i}}''}}{{sub|''i''∈''I''}}}} の間の射の族 {{math|''f{{sub|i}}'': ''X{{sub|i}}'' → ''Y{{sub|i}}'' (''i'' ∈ ''I'')}} に対して {{math|&prod;{{su|b=''i''∈''I''}} ''X{{sub|i}}'' → &prod;{{su|b=''i''∈''I''}} ''Y{{sub|i}}''}} なる射として、射の族 {{math|{{mset|''f{{sub|i}}'' ∘ ''π{{sub|i}}''}}}} の積 {{math|{{angbr|''f{{sub|i}}'' ∘ ''π{{sub|i}}'' : ''i'' ∈ ''I''}}}} が対応する。

対象のすべての有限集合が積をもつような圏は'''[[デカルト圏]]''' (cartesian category) と呼ばれることもある<ref name="esslli"/>。（ただし、「すべての有限極限をもつ圏」の意味でこの語を用いる文献もある。）

積は結合的である。デカルト圏 {{mvar|C}} において、上で述べたように積函手を考え、{{mvar|C}} の終対象を {{math|1}} と書けば、{{仮リンク|自然同型|en|natural isomorphism}}
: <math>\begin{align}
 &X\times (Y \times Z)\simeq (X\times Y)\times Z\simeq X\times Y\times Z,\\
 &X\times 1 \simeq 1\times X \simeq X,\\
 &X\times Y \simeq Y\times X
\end{align}</math>
が成立する。これらの性質は（同型を等式で置き換えれば）可換[[モノイド]]の性質と形の上では同じである。すなわち、有限積を備えた圏は、{{仮リンク|対称モノイド圏|label=対称|en|symmetric monoidal category}}[[モノイド圏]]を構成する。

== 分配性 ==
有限積および有限余積をもつ圏において、自然な射 {{math|''X'' × ''Y'' + ''X'' × ''Z'' → ''X'' ×(''Y'' + ''Z'')}} が存在する、ただしここでプラス記号は[[余積]]を表す。これを見るために、次の図式 [[File:Product-Coproduct Distributivity.png|300px|center|自然な分配射]] を埋める種々の射影および入射について注意を払わねばならない。

これにより {{math|''X'' ×(''Y'' + ''Z'')}} に対する普遍性は一意な射 {{math|''X'' × ''Y'' + ''X'' × ''Z'' → ''X'' ×(''Y'' + ''Z'')}} を保証する。{{仮リンク|分配圏|en|distributive category}}は、この射が実際に同型射となるような圏を言う。従って分配圏において自然な同型
: <math>X\times (Y + Z)\simeq (X\times Y)+ (X \times Z)</math>
が成立する。

== 関連項目 ==
* [[余積]] &ndash; 積の[[双対 (圏論)|双対]]
* [[対角関手]] &ndash; 積関手の[[左随伴]]
* [[極限 (圏論)|極限と余極限]]
* [[等化子]]
* [[逆極限]]
* [[デカルト閉圏]]
* [[圏論的引き戻し]]

== 参考文献 ==
<references/>
* {{cite book | last = Adámek | first = Jiří |author2=Horst Herrlich |author3=George E. Strecker  | year = 1990 | url = http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf | title = Abstract and Concrete Categories|publisher = John Wiley & Sons | isbn = 0-471-60922-6}}
* {{cite book | last = Barr | first = Michael |author2=Charles Wells | title = Category Theory for Computing Science | year = 1999 | url= http://www.math.mcgill.ca/triples/Barr-Wells-ctcs.pdf | publisher = Les Publications CRM Montreal (publication PM023)}} Chapter 5.
* {{cite book | first = Saunders | last = Mac Lane | authorlink = Saunders Mac Lane | year = 1998 | title = [[Categories for the Working Mathematician]] | series = [[Graduate Texts in Mathematics]] '''5''' | edition = 2nd | publisher = Springer | isbn = 0-387-98403-8}}
* Definition 2.1.1 in {{Cite book| publisher = Cambridge University Press| isbn = 0-521-44178-1| volume = Volume 1| last = Borceux| first = Francis| title = Handbook of categorical algebra| series = Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]| date = 1994 | page=39 }}

== 外部リンク ==
*[http://www.j-paine.org/cgi-bin/webcats/webcats.php Interactive Web page ] which generates examples of products in the category of finite sets. Written by [http://www.j-paine.org/ Jocelyn Paine].
*{{nlab|id=product|title=Product}}

{{圏論}}

{{DEFAULTSORT:せき}}
[[Category:極限 (圏論)]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:対象 (圏論)]]