立方根のソースを表示

{{複数の問題
| 出典の明記 = 2020年1月
| 特筆性 = 2020年1月
}}'''立方根'''（りっぽうこん、''cubic root''、''root of third power''）とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。'''三乗根'''（さんじょうこん）ともいう。

== 定義 ==
積の定義された集合 ''E'' を固定して考える。''E'' の元 ''a'' に対し、''a'' = ''x''<sup>3</sup> を満たす ''x'' &isin; ''E'' が存在するとき、''x'' は ''E'' における ''a'' の'''立方根'''であるという。また、立方根を求めることを'''[[開立法|開立]]'''（かいりゅう）という。

''a'' が[[実数]]であれば ''a'' の立方根は実数の範囲に常に''ただ一つ存在'' し、それを <math>\sqrt[3]{a}</math> と表す。

== 性質 ==
* 正の数 <math>a</math> に対して、
*:<math>\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}.</math>
*<math> 1</math> の虚立方根の一つを <math>\omega</math> とすると、もう一つの虚立方根は <math>\omega^2</math> であり、<math>\omega</math>, <math>\omega^2</math> はともに[[1の原始冪根| 1 の原始冪根]]である。また、<math>1 + \omega + \omega^2 = 0</math> が成り立つ。

:<math> 1, \quad \omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad \omega^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\overline{\omega}. </math>
:<math>\omega=\exp \left(i \cdot \left(\frac{{2\pi}}{3}+2k\pi \right)\right), \quad \omega^2=\exp\left(i \cdot \left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi \right) \right), \quad \overline{\omega}=\exp\left(i \cdot \left(\frac{-2\pi}{3}+2k\pi \right) \right). </math>
:<math>\omega+1=\exp \left(i \cdot \left(\frac{{\pi}}{3}+2k\pi \right) \right) = -\omega^2, \quad \overline{\omega}+1=\exp\left(i \cdot \left(\frac{-\pi}{3}+2k\pi \right) \right) =-\omega . </math>
:<math>\frac{1}{\omega}=\omega^2, \quad \frac{1}{\omega^2}=\omega . </math>
* <math>\alpha</math> が <math>0</math> でない[[複素数]]ならば、<math>\alpha</math> の立方根は常に 3 個あり、それらは[[複素数#複素数平面|複素数平面]]上で、原点 <math>O</math> を中心とする半径 <math>\sqrt[3]{|\alpha|}</math> の円に内接する[[正三角形]]の頂点になる。

== 具体的な数 ==
*<math>\sqrt[3]{2} = 1.2599210498\cdots</math>({{OEIS|A002580}})
*<math>\sqrt[3]{3} = 1.4422495703\cdots</math>({{OEIS|A002581}})
*<math>\sqrt[3]{4} = 1.5874010519\cdots</math>({{OEIS|A005480}})
*<math>\sqrt[3]{5} = 1.7099759466\cdots</math>({{OEIS|A005481}})
*<math>\sqrt[3]{6} = 1.8171205928\cdots</math>({{OEIS|A005486}})
*<math>\sqrt[3]{7} = 1.9129311827\cdots</math>({{OEIS|A005482}})
*<math>\sqrt[3]{8} = 2</math>
*<math>\sqrt[3]{9} = 2.0800838230\cdots</math>({{OEIS|A010581}})
*<math>\sqrt[3]{10} = 2.15443469003</math>

== 複素数 ==
[[ファイル:Visualisation complex number roots.svg|480px|サムネイル|右|複素数の冪根の幾何学的表現]]
複素数の場合は、実部が最大のものを主要根とする。
:<math>z^{\frac13} = \exp \left( \frac13 \ln{z} \right).</math><math>\sqrt[3]{9} = 2.0800838230\cdots</math>

極形式では
:<math>z = r \exp(i \theta)\,</math>
ここで rは非負の実数、<math>\theta</math>の定義域は以下とする（偏角は[[多価関数]]のため）。
:<math>-\pi < \theta \le \pi</math>,

:<math>\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{r}\exp \left(\frac {i\theta}{3} \right).</math>

<math>\sqrt[3]{-8}</math> は <math>1+\sqrt{3}i</math>（<math>=\sqrt[3]{8}e^{\frac {\pi i}{3}}</math>） が主要根となる（-2（<math>=(1+\sqrt{3}i)e^{\frac {2\pi i}{3}}</math>）ではない）。

主要根の複素数の偏角の範囲は以下となる。
:<math>-\frac{\pi}{3} < \frac{\theta}{3} \le \frac{\pi}{3}</math>

;単位円での例
<math>\sqrt[3]{z}</math>と<math>\sqrt[3]{-z}</math>の主要根の関係を単位円上で示すと（<math>\Im(z) \ge 0</math>、偏角 <math>\theta=21^\circ</math> の例）
:<math>\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{\cos21^\circ+i\sin21^\circ}=\cos7^\circ+i\sin7^\circ</math>
:<math>\begin{align}
\sqrt[3]{-z}=\sqrt[3]{-\cos21^\circ-i\sin21^\circ}=& \sqrt[3]{\cos(-159^\circ)+i\sin(-159^\circ)} \\
=& \cos(-53^\circ)+i\sin(-53^\circ) \\
=& -\omega (\cos7^\circ+i\sin7^\circ)
\end{align}</math>

{{-}}

== 脚注 ==
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== 関連項目 ==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
* [[立方数]]
* [[平方数]]
* [[冪根]]
* [[平方根]]
* [[代数的数]]
* [[定規とコンパスによる作図]]
** [[立方体倍積問題]]（三大作図問題）
* [[折紙の数学]]
* [[折り紙公理]]
* [[根号]] U+221B &#x221B;

== 外部リンク ==
*{{mathworld|urlname=CubeRoot|title=Cube Root}}


{{DEFAULTSORT:りつほうこん}}
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[[Category:初等数学]]
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[[Category:数学に関する記事]]