符号の規約のソースを表示

物理学において、ある量の集合についてそれぞれ正か負かの[[符号 (数学)|符号]]を任意に選択できる場合があり、このときの符号の付け方を'''符号の規約'''（ふごうのきやく, {{lang-en-short|sign convention}}）という。ここでいう「任意」とは、この符号について異なる規約を（一貫して）用いたとしても、同一の物理系として正確に記述されるという意味である。このため符号選択は（論文や書籍の）著者によって様々であり、しばしば科学研究における混乱や不満、誤解や過誤の源となっている。一般に、符号の規約は1つの次元についての[[座標系]]の選択の、特別な場合である。

また「符号の規約」の用語は、[[虚数単位]] {{mvar|i}} や {{math|2&pi;}} の因子を含む、より広い意味で用いられることもある。

== 相対論 ==
=== 計量符号 ===
[[特殊相対性理論|相対性理論]]において、[[計量符号]]は {{math|(+,&minus;,&minus;,&minus;)}} か {{math|(&minus;,+,+,+)}} のいずれかである。{{Efn|この項においては、計量の符号は時間成分を最初に、そして空間成分を続けて表示する。}}それぞれ {{math|[[対角行列|diag]](+1,&minus;1,&minus;1,&minus;1)}}, {{math|diag(&minus;1,+1,+1,+1)}} の[[計量テンソル]]に対応する。より高次元の相対性理論においても同様である: {{math|(+,&minus;,&minus;,&minus;,&hellip;)}} と {{math|(&minus;,+,+,+,&hellip;)}}.

この符号の規約には幾つかの呼び名がある:
*{{math|(+,&minus;,&minus;,&minus;)}}
**時間的規約
**[[素粒子物理学|粒子物理学]]の規約{{efn|name=astrobaki|
粒子物理畑の人間は{{math|(+,&minus;,&minus;,&minus;)}}を好み、一方で相対論畑の人間は{{math|(&minus;,+,+,+)}}を好むと言われる。{{Cite web
| author     = AstroBaki
| date       = 2017-12-06
| url        = https://casper.berkeley.edu/astrobaki/index.php/Lorentz_transformations
| title      = Lorentz transformations
| language   = en
| accessdate = 2018-01-02
}}}}
**[[アメリカ合衆国西海岸|西海岸]]規約
**ほとんど負
**[[理論物理学教程|ランダウ・リフシッツ]]の規約
*{{math|(&minus;,+,+,+)}}
**空間的規約
**[[一般相対性理論|相対論]]の規約{{efn|name=astrobaki}}
**[[アメリカ合衆国東海岸|東海岸]]規約
**ほとんど正
**[[ヴォルフガング・パウリ|パウリ]]規約{{efn|『パウリ物理学講座』''{{En|Pauli Lectures on Physics}}'' 等}}

幾つかの著名な院生向けテキストにおける使用例:
*{{math|(+,&minus;,&minus;,&minus;)}}
** [[レフ・ランダウ|ランダウ]]・[[エフゲニー・リフシッツ|リフシッツ]]の『[[理論物理学教程]]』
** [[:en:Louis Witten|Louis Witten]] 監の ''{{En|Gravitation: An Introduction to Current Research}}''
** Ray D'Inverno の ''{{En|Introducing Einstein's Relativity}}''
*{{math|(&minus;,+,+,+)}}
** 『重力理論』''[[:en:Gravitation (book)|{{En|GRAVITATION}}]]''
** Sean Carroll の {{En|[http://www.preposterousuniverse.com/spacetimeandgeometry/ Spacetime and Geometry: An Introduction to General ''Relativity'']}}
** [[:en:Robert Wald|Robert Wald]] の ''{{En|[[:en:General Relativity (book)|General Relativity]]}}''{{Efn|13章のみ時間的規約へと符号を変更している。}}

{|class="wikitable"
|+ 計量の符号といくつかの関係式
|-
! 関係式
! {{math|(+,&minus;,...,&minus;)}}
! {{math|(&minus;,+,...,+)}}
|-
! rowspan="2" | [[4元運動量]]の成分表示
| colspan="2" align="center" | <math>p^\mu =(E,\boldsymbol{p})</math>
|-
| align="center" | <math>p_\mu =(E,-\boldsymbol{p})</math>
| align="center" | <math>p_\mu =(-E,\boldsymbol{p})</math>
|-
! rowspan="2" | [[質量殻条件]]
| colspan="2" align="center" | <math>m^2 =E^2 -\boldsymbol{p}^2</math>
|-
| align="center" | <math>m^2 =p^\mu p_\mu</math>
| align="center" | <math>m^2 =-p^\mu p_\mu</math>
|-
<!-- 電磁気学 -->
! [[ローレンツ力]]
| colspan="2" align="center" | <math>\dot{p}_\mu = -q\dot{X}^\nu F_{\nu\mu}(X)</math>
|-
! [[マクスウェル方程式]]
| align="center" | <math>\partial_\nu F^{\nu\mu} =J^\mu</math>
| align="center" | <math>\partial_\nu F^{\nu\mu} =-J^\mu</math>
|-
<!-- 量子力学 -->
|-
! [[正準交換関係]]
| align="center" | <math>[x^\mu, p_\nu] =-i\delta^\mu_\nu</math>
| align="center" | <math>[x^\mu, p_\nu] =i\delta^\mu_\nu</math>
|-
! rowspan="2" | [[運動量演算子]]の座標表示
| colspan="2" align="center" | <math>(E,\boldsymbol{p}) = (i\tfrac{\partial}{\partial t}, -i\nabla)</math>
|-
| align="center" | <math>p_\mu = i\partial_\mu</math>
| align="center" | <math>p_\mu = -i\partial_\mu</math>
|-
|}

===曲率===
[[リッチテンソル]] {{math|''R{{sub|&mu;&nu;}}''}} は[[リーマンテンソル]] {{math|''R{{sup|&mu;}}{{sub|&nu;&alpha;&beta;}}''}} の[[テンソルの縮約|縮約]]として定義されるが、その縮約には次の2通りの取り方がある:
* {{math|''R{{sub|&mu;&nu;}}'' {{=}} ''R{{sup|&alpha;}}{{sub|&mu;&alpha;&nu;}}''}}
* {{math|''R{{sub|&mu;&nu;}}'' {{=}} ''R{{sup|&alpha;}}{{sub|&mu;&nu;&alpha;}}''}}
リーマンテンソルの対称性により、この2つの定義は符号だけ異なる。またリーマンテンソルの定義についても符号だけを変える2通りの定義があり、これら2通りずつの定義を協働して用いることで、異なる規約についても同一の物理を与える。

== その他の符号の規約 ==

* 参照系における[[時間の矢|時間]]と固有時の符号選択: 未来を {{math|+}}、過去を {{math|&minus;}} とする取り方が一般的
* [[ディラック方程式]]の {{math|&plusmn;}} の選択
* [[ゲージ理論]]や[[マクスウェル方程式|古典電磁気学]]における[[電荷]]、[[電磁テンソル|場の強度テンソル]] {{math|''F{{sub|&mu;&nu;}}''}} の符号
* 正周波数波の時間依存性:
** {{math|''e''{{sup|&minus;''i&omega;t''}}}}（主に物理学で）
** {{math|''e''{{sup|+''i&omega;t''}}}}（主に工学で）
* [[フーリエ変換]]における[[積分核]]の[[指数関数]]の肩の符号: {{math|''e''{{sup|&minus;''ikx''}}}} か {{math|''e''{{sup|+''ikx''}}}} か
* [[誘電率]]の虚部の符号（時間依存性の符号選択により決定される）
* [[光学]]における光学面の距離と[[:en:Radius of curvature (optics)|曲率半径]]の符号
* {{仮リンク|熱力学の第1法則|en|first law of thermodynamics}} における[[仕事 (物理学)|仕事]]の符号
* [[テンソル密度]]を扱うときの計量テンソルの[[行列式]]の重みの符号

書籍や論文において使用される符号の規約は、冒頭で明示することが慣例となっている。

==注釈==
{{notelist}}

==参考文献==
* {{Cite book
| last1     = Misner
| first1    = Charles W.
| authorlink1 = :en:Charles W. Misner
| last2     = Thorne
| first2    = Kip S.
| authorlink2 = キップ・ソーン
| last3     = Wheeler
| first3    = John A.
| authorlink3 = ジョン・ホイーラー
| title     = Gravitation
| publisher = W. H. Freeman
| year      = 1973
| isbn      = 0-7167-0344-0
| pages     = 見返し
| ref       = {{SfnRef|MTW|1973}}
}}
** {{Cite book|和書
| last1  = ミスナー
| first1 = C. W.
| last2  = ソーン
| first2 = K. S.
| authorlink2 = キップ・ソーン
| last3  = ホイーラー
| first3 = J. A.
| authorlink3 = ジョン・ホイーラー
| title  = 重力理論
| translator = [[若野省己|若野 省己]]
| publisher=丸善出版
| year   = 2011
| isbn   = 978-4621083277
| pages   = xxiv-xxv
}}
*** 様々な重要論文・書籍において用いられている計量テンソル・リーマンテンソル・[[アインシュタイン方程式]]それぞれの符号の規約の一覧がある。

== 関連項目 ==
* [[向き]] - 掌性としても知られる
* [[対称性 (物理学)]]
* [[ゲージ理論]]

{{デフォルトソート:ふこうのきやく}}
[[Category:数理物理学]]