符号数のソースを表示

[[数学]]、とくに[[線型代数学]]における'''符号数'''（ふごうすう、{{lang-en-short|''signature''}}）は[[固有値]]の符号（正・負・零）を重複度を込めて数えたものである。

== 概観 ==
実[[ハメル次元|有限次元]][[ベクトル空間|線型空間]]上の、計量を与える実[[二次形式]]および付随する[[内積]]（実[[対称双線型形式]]）の'''符号数 {{math|(''p'', ''q'', ''r'')}} '''は、これを適当な[[基底 (線型代数学)|基底]]に関して表示した時に得られる同伴実[[対称行列]]あるいはそれと同値な[[計量テンソル]]の、[[固有値]]の符号が正・負・零であるものがそれぞれ重複度込みで {{mvar|p, q, r}} 個であることを表す。これはそれぞれ正・負・零な部分空間のうち極大なものの次元と言ってもよい。[[シルヴェスターの慣性法則]]によれば、これらの数は基底のとり方に依らない。従って符号数は基底の取り方の[[up to|違いに依らない]]計量を分類する。

[[複素数|複素]]係数の場合は、[[エルミート形式|エルミート二次形式]]およびエルミート[[半双線型形式]]を考えれば、同様の結果を得る。

=== 定値性 ===
{{math|1=''q'' = ''r'' = 0}} のとき計量は'''正値'''あるいは'''正の定符号'''であるといい、{{math|1=''p'' = ''r'' = 0}} のとき'''負値'''あるいは'''負の定符号'''であるという。[[リーマン計量]]は[[定符号二次形式|定符号]]であるような計量テンソルである。[[ローレンツ計量]]は符号数 {{math|(''p'', 1)}} または {{math|(1, ''q'')}} を持つものを言う。また、'''不定符号''' (''indefinite'') あるいは'''混合型''' (''mixed'') であるとは {{math|''p'', ''q''}} が何れも非零であるときに言い、'''[[退化形式|退化]]'''しているとは {{mvar|r}} が非零であるときに言う。[[定符号二次形式]]の項も参照。

=== 非退化の場合 ===
「非退化」（{{math|''r'' {{=}} 0}}）な計量に関して、符号数はしばしば（符号 {{math|0}} に対応する部分を除く）整数の対として '''{{math|(''p'', ''q'')}}''' と書いたり、あるいは符号数 {{math|(1, 3)}} や {{math|(3, 1)}} を固有値の符号列として明示的にそれぞれ '''{{math|(+, −, −, −)}}''' や''' {{math|(−, +, +, +)}} '''のように書いたりもする<ref>Rowland, Todd. "Matrix Signature." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/MatrixSignature.html</ref>。文献によっては {{math|''p'', ''q''}} の代わりにひとつの数 '''{{math|''s'' {{coloneqq}} ''p'' − ''q''}}''' を符号数と呼ぶこともある。暗黙に全体の次元 {{math|''n'' {{=}} ''p'' + ''q''}} が与えられていると考えればこの {{mvar|s}} の意味での符号数から、上で述べた意味での符号数 {{math|(''p'', ''q'')}} は復元できる。例えば, 符号数 {{math|1= ''s'' = 1 − 3 = −2}} は {{math|(+, −, −, −)}} のことであり、{{math|1= ''s'' = 3 − 1 = +2}} は {{math|(−, +, +, +)}} のことである。

== 性質 ==

=== 符号数と次元の関係 ===
[[スペクトル論]]によれば {{math|''n'' × ''n''}} 実対称行列は常に[[対角化可能]]であり、したがって（{{仮リンク|代数重複度|en|algebraic multiplicity}}を込めて）ちょうど {{mvar|n}} 個の実[[固有値]]を持つから、{{math|1= ''p'' + ''q'' + ''r'' = ''n''}} を満たす。

=== シルヴェスターの慣性法則 ===
[[シルヴェスターの慣性法則]]によれば、実対称双線型形式としての内積 {{mvar|g}} の符号数は基底の取り方に依らない。さらに言えば、計量 {{mvar|g}} が符号数 {{math|(''p'', ''q'', ''r'')}} を持つとき、 
* {{math|1=''g''<sub>''ab''</sub> = +1}} ({{math|1=''a'' = ''b'' = 1, …, ''p''}}), 
* {{math|1=''g''<sub>''ab''</sub> = −1}} ({{math|1=''a'' = ''b'' = ''p'' + 1, …, ''p'' + ''q''}}),
* {{math|1=''g''<sub>''ab''</sub> = 0}} (それ以外) 
となるような基底が必ずとれる。これにより、{{仮リンク|等長同型|en|isometry}} {{math|(''V''<sub>1</sub>, ''g''<sub>1</sub>) → (''V''<sub>2</sub>, ''g''<sub>2</sub>)}} が存在するための必要十分条件が{{math|''g''<sub>1</sub>}} および {{math|''g''<sub>2</sub>}} の符号数が等しいことであることが従う。同様にして、[[合同 (行列)|合同]]な行列の符号数は互いに等しく、合同を除いた行列の分類ができる。言葉を替えれば、二階共変対称テンソルの空間 {{math|''S''<sup>2</sup>''V''<sup>∗</sup>}} への一般線型群 {{math|GL(''V'')}} の作用に関する軌道上で符号数は一定であり、これらの軌道を分類する。

=== 各数の幾何学的解釈 ===
符号数 {{math|(''p'',''q'',''r'')}} に対して、{{mvar|p}} は対称双線型形式 {{mvar|g}} がその上で正定値となるような部分線型空間の次元の最大値であり、同様に {{mvar|q}} は負定値となるような部分線型空間の最大値である。また {{mvar|r}} は {{mvar|g}} の根基（付随する対称行列の[[核空間]]）の次元である。従って、非退化な計量は符号数 {{math|(''p'', ''q'', 0)}} を持ち、{{math|1=''p'' + ''q'' = ''n''}} を満たす。この特別の場合として {{math|(''n'', 0, 0)}} および {{math|(0, ''n'', 0)}} はそれぞれ正定値および負定値の内積に対応し、負号反転によって互いに読み替えることができる。

== 例 ==

=== 対称行列の符号数 ===
* {{math|''n'' × ''n''}} [[単位行列]]の符号数は {{math|(''n'', 0, 0)}}である。
* [[対角行列]]の符号数はその[[主対角線]]に並ぶ数の符号（正・負・零）の数を表す。

次の二つの行列
:<math>\begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 1  \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>
はともに符号数 {{math|(1, 1, 0)}} を持つから、シルヴェスターの慣性法則によればこれらは互いに合同である。

=== 内積の符号数 ===
[[数ベクトル空間]] {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の[[標準内積]]の符号数は {{math|(''n'', 0, 0)}} である。実対称双線型形式の意味での内積がこの符号数を持つための必要十分条件は、それが[[定符号二次形式|正定符号]]となることである。

負の定符号内積は符号数 {{math|(0, ''n'', 0)}} を持つ。半負定符号内積は {{math|(''p'', 0, ''r'')}} ({{math|1= ''p'' + ''r'' = ''n''}}) を符号数に持つ。

[[ミンコフスキー空間]]は集合としては {{math|'''R'''{{sup|4}}}} であり、行列
:<math>\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math>
の定める符号数 {{math|(3, 1, 0)}} の内積を持つ。符号を反転して符号数 {{math|(1, 3, 0)}} とすることもある。

== 符号数の計算 ==
行列の符号数の計算法はいくつかある。
* {{math|''n'' × ''n''}}[[非退化形式|非退化]][[対称行列]]は、[[対角化]]して（あるいは固有値を全て求めて）、正符号と負符号の数を数えればよい。
* 対称行列に対して、固有多項式の根が全て実根ならば、[[デカルトの符号法則]]から符号数を決定できる。
* ラグランジュアルゴリズムは[[直交基底]]を計算することができるから、合同な[[対角行列]]を計算してその符号数を決めればよい。
* ヤコビの判定法によれば、対称行列が正定値となる必要十分条件はその主小行列式が全て正であることである。

== 物理学における符号数 ==
[[数学]]においては正定値[[計量テンソル]]を備えた[[リーマン多様体]]を考えるのが普通である。

[[理論物理学]]では[[時空]]のモデルとして[[擬リーマン多様体]]を用いる。符号数は、時空が（[[特殊相対論]]に言う意味で）どのくらい空間的でどのくらい時間的であるかの指標として働く。[[素粒子物理学]]での用例では、計量は時間的部分空間上で正定値であり、空間的部分空間上で負定値である。特にミンコフスキー計量
: <math> ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 </math>
を挙げれば、これは符号数 {{math|(1, 3, 0)}} で、時間方向には正定値、そのほかの三つの空間方向 {{mvar|''x'', ''y'', ''z''}} には負定値である。（ここでは {{mvar|s}} が[[固有時]]を直接的にはかるものとして与えているのでこうなるが、符号を逆にする流儀もある。）

== 符号変化 ==
計量が至る所正則ならば、計量は一定である。しかし、適当な超曲面上で計量が退化したり不連続になったりすることを許すならば、その計量の符号数はそれら曲面上で変化し得る<ref>{{cite journal
|last1=Dray    |first1=Tevian
|last2=Ellis   |first2=George
|last3=Hellaby |first3=Charles
|last4=Manogue |first4=Corinne A.
|title          =Gravity and signature change
|journal        =General Relativity and Gravity
|volume         =29
|pages          =591–597
|doi            =10.1023/A:1018895302693
|year           =1997
|arxiv          =gr-qc/9610063
|bibcode = 1997GReGr..29..591D }}</ref>。そのような符号変化をもたらす行列は[[宇宙論]]や[[量子重力理論|量子重力論]]に応用を持ち得る。

== 関連項目 ==
* [[擬リーマン多様体]]
* {{仮リンク|符号規約|en|Sign convention}}

== 注釈 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:ふこうすう}}
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[[Category:微分幾何]]
[[Category:計量テンソル]]
[[Category:数学に関する記事]]