第2種ベータ分布のソースを表示

{{確率分布
| name       =第2種ベータ分布
| type       =密度
| pdf_image  =[[Image:Beta prime pdf.svg|325px]]
| cdf_image  =[[Image:Beta prime cdf.svg|325px]]
| parameters =<math>\alpha > 0</math> 形状母数 (実数)<br /><math>\beta > 0</math> 形状母数 (実数)
| support    =<math>x \in (0,\infty)</math>
| pdf        =<math>f(x) = \frac{x^{\alpha-1} (1+x)^{-\alpha -\beta}}{B(\alpha,\beta)}</math><br /><math>B(a,b)</math> は[[ベータ関数]]
| cdf        =<math> I_{\frac{x}{1+x}(\alpha,\beta) }</math><br /><math>I_z(a,b)</math> は正則化された[[不完全ベータ関数]]
| mean       =<math>\frac{\alpha}{\beta-1} \text{ if } \beta>1</math>
| median     =
| mode       =<math>\frac{\alpha-1}{\beta+1} \text{ if } \alpha\ge 1\text{, 0 otherwise}</math>
| variance   =<math>\frac{\alpha(\alpha+\beta-1)}{(\beta-2)(\beta-1)^2} \text{ if } \beta>2</math>
| skewness   =<math>\frac{2(2\alpha+\beta-1)}{\beta-3}\sqrt{\frac{\beta-2}{\alpha(\alpha+\beta-1)}} \text{ if } \beta>3</math>
| kurtosis   =
| entropy    =
| mgf        =<math>\frac{e^{-t}\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\beta)}G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha+\beta\\\beta,0\end{matrix}}\;\right|\,-t\right)</math><br /><math>\Gamma(z)</math> は[[ガンマ関数]]<br /><math>G_{p,q}^{\,m,n} \Bigl( {}^{a_1,\ldots,a_p}_{\,b_1,\ldots,b_q} \,\Big|\, z \Bigr)</math> は{{仮リンク|マイヤーのG関数|en|Meijer_G-function}}
| char       =
}}

'''第2種ベータ分布'''（だい2しゅベータぶんぷ、{{lang-en-short|beta prime distribution, beta distribution of the second kind}}）とは、第1種[[ベータ分布]]に従う[[確率変数]] {{mvar|X}} に対して、{{math|{{sfrac|''X''|1 &minus; ''X''}}}} の従う[[連続確率分布]]分布のことである。その[[確率密度関数]]は以下で与えられる。
:<math>f(x; \alpha ,\beta ) = \frac{x^{\alpha-1} (1+x)^{-\alpha -\beta}}{B(\alpha,\beta)}</math>
ここで、{{mvar|&alpha;}} と {{mvar|&beta;}} は正実数のパラメータであり、確率変数 {{mvar|x}} のとる値の範囲は正実数全体である。

== 一般化第2種ベータ分布 ==
ともに正実数の形状パラメータ {{mvar|p}} とスケールパラメータ {{mvar|q}} を加えて一般化した、下記の確率密度関数で与えられる分布を'''一般化第2種ベータ分布'''（{{lang-en-short|generalized beta prime distribution}}）という。
: <math>f(x;\alpha,\beta,p,q) = \frac{p \left(\frac x q \right)^{\alpha p-1} \left(1+ \left(\frac x q \right)^p\right)^{-\alpha -\beta}}{qB(\alpha,\beta)}</math>

== 参考文献 ==
* 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
* B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典、朝倉書店 (2002).

== 関連項目 ==
* [[確率分布]]
* [[ベータ分布]]
* [[ベータ関数]]
* [[不完全ベータ関数]]

{{確率分布の一覧}}

{{DEFAULTSORT:たいにしゆへえたふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]