等周定理のソースを表示

{{複数の問題
|出典の明記=2016年2月
|独自研究=2016年4月
}}
数学における'''等周定理'''（とうしゅうていり）とは、[[表面積]]と[[体積]]に関する幾何学的[[不等式]]である。<math>n</math>次元空間 <math>\R^n</math> の物体 <math>S\subset\R^n</math> においてその[[表面積]]を <math>\mathrm{surf}(S)</math>、[[体積]]を <math>\mathrm{vol}(S)</math> で表すと、以下の不等式が成り立つ。

:<math>\mathrm{surf}(S)\geq n \mathrm{vol}(S)^{\frac{n-1}{n}}\mathrm{vol}(B_1)^{\frac{1}{n}}</math>,

この式の <math>B_1\subset\R^n</math> は[[単位球面|単位球]]である。等号は <math>S</math> が <math>n</math>次元の[[球体]]であるときに成り立つ。

<math>n=2</math>、即ち平面の時には、閉曲線の長さとそれによって囲まれる領域の面積の関係となる<ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学特選問題 |year=1932 |publisher=1932 |pages=124-143 |doi=10.11501/1211458}}</ref>。[[周長]]を ''L''、領域の[[面積]]を ''A'' とすると以下の式が成り立つ。

:<math>4\pi A \le L^2,</math>

等号は領域が[[円 (数学)|円]]の時のみ成り立つ<ref>{{Cite web |title=等周問題に関連する高校数学の問題 |url=https://manabitimes.jp/math/1428 |website=[[高校数学の美しい物語]] |date=2021-03-07 |access-date=2024-07-19 |language=ja}}</ref>。

== 出典 ==
{{Reflist}}
{{Normdaten|qid=Q617417}}{{デフォルトソート:とうしゆうていり}}
[[Category:解析幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
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